Arithmetisches und geometrisches Mittel/Gewichtet/Jensensche Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Da der natürliche Logarithmus konkav ist, gilt mit der konkaven Version der Jensenschen Ungleichung und mit den Koeffizienten ${}t_{i}$

die Beziehung

${}\ln \left(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}t_{i}\ln x_{i}\,.$

Wir wenden darauf die Exponentialfunktion und dann zweimal die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion an und erhalten

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}&\geq \exp \left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}\exp \left(t_{i}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{t_{i}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe