Arithmetisches und geometrisches Mittel/Gewichtet/Jensensche Abschätzung/Aufgabe

Zeige mithilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen  ${}t_{1},\ldots ,t_{n}>0$  mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

und Zahlen  ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  die Abschätzung

${}x_{1}^{t_{1}}\cdot x_{2}^{t_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{t_{n}}\leq t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\,$

gilt.

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