Ausdrucksinterpretation/Bijektion N Z/Übertragene Verknüpfungen/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z}$

die durch

${}\varphi (n):={\begin{cases}{\frac {n}{2}}\,,{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\-{\frac {n+1}{2}}\,,{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,,\end{cases}}\,$

gegebene bijektive Abbildung mit der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$. Auf ${}\mathbb {Z}$ seien die zweistelligen Funktionen ${}\circ$ und ${}\heartsuit$ durch

${}m\circ n:=\varphi (\varphi ^{-1}(m)+\varphi ^{-1}(n))\,$

und

${}m\heartsuit n:=\varphi (\varphi ^{-1}(m)\cdot \varphi ^{-1}(n))\,$

gegeben, wobei ${}+$ und ${}\cdot$ die üblichen Verknüpfungen auf ${}\mathbb {N}$ seien. Die Menge ${}\mathbb {Z}$ zusammen mit diesen Verknüpfungen nennen wir ${}M$.

a) Berechne in ${}M$

$(5\heartsuit (-2))\circ ((-6)\heartsuit 3).$

b) Es sei ${}S$ das Symbolalphabet, das aus den Variablen ${}x,y$, einer Konstanten ${}c$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen ${}\alpha ,\beta$ bestehe. Es sei ${}I$ die Interpretation von ${}L^{S}$ in ${}M$, die ${}\alpha$ als ${}\circ$, ${}\beta$ als ${}\heartsuit$, ${}c$ als ${}1$ und die Variablen als ${}2$ interpretiere. Berechne ${}I(t)$ für den Term

${}t=\beta \alpha cc\beta xc\,.$

c) Gilt bei der Interpretation ${}I$ der Ausdruck

$\forall x{\left(\exists y{\left(c\circ y=x\right)}\right)}?$

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