Aussagenlogik/(Injektive) Abbildung auf Menge der Aussagenvariablen/Wirkungsweise auf Tautologie/Aufgabe

Es sei ${}V$ eine Menge von Aussagenvariablen und ${}\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache ${}L^{V}$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Abbildung und es sei ${}\varphi (\alpha )$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in ${}\alpha$ jede Aussagenvariable ${}p$ durch ${}\varphi (p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}\alpha$ eine Tautologie ist, so ist auch ${}\varphi (\alpha )$ eine Tautologie.
2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für ${}\varphi (\alpha )$ gilt.
3. ${}\varphi (\alpha )$ kann eine Tautologie sein, auch wenn ${}\alpha$ keine Tautologie ist.
4. Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch Kontradiktion ersetzt.

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