Aussagenlogik/(Injektive) Abbildung auf Menge der Aussagenvariablen/Wirkungsweise auf Tautologie/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge von Aussagenvariablen und $\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache $L^V$. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine Abbildung und es sei $\phi (\alpha )$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in $\alpha$ jede Aussagenvariable $p$ durch $\phi (p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn $\alpha$ eine Tautologie ist, so ist auch $\phi (\alpha )$ eine Tautologie.
2. Wenn $\phi$ injektiv ist, so ist $\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für $\phi (\alpha )$ gilt.
3. $\phi (\alpha )$ kann eine Tautologie sein, auch wenn $\alpha$ keine Tautologie ist.
4. Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch Kontradiktion ersetzt.

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