Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge

$M:=\{\Delta \subseteq L^V\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\Delta \text{ widerspruchsfrei }\}$

mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen  $\Gamma \in M$  ist diese Menge nicht leer. Es sei  $N\subseteq M$  eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung

$\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta$

ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der $\Delta$ enthalten wäre. Also besitzt die Kette in $M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in $M$ maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei.

Zur bewiesenen Aussage