Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Menge

mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen ist diese Menge nicht leer. Es sei eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung

ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der enthalten wäre. Also besitzt die Kette in eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei.