Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M:={\left\{\Delta \subseteq L^{V}\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\,\Delta {\text{ widerspruchsfrei }}\right\}}\,$

mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen ${}\Gamma \in M$ ist diese Menge nicht leer. Es sei ${}N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung

${}\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta \,$

ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der ${}\Delta$ enthalten wäre. Also besitzt die Kette in ${}M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in ${}M$ maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei.

Zur bewiesenen Aussage