Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Maximal widerspruchsfrei/Erfüllbar/Fakt/Beweis

Beweis

Da $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist, gilt nach Fakt  (1) für jede Aussagenvariable die Alternative  $p\in \Gamma$  oder  $\mathrm{\neg }p\in \Gamma$.  Wir betrachten die Wahrheitsbelegung

$\lambda (p)=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }p\in \Gamma ,\\ 0,\text{ falls }\mathrm{\neg }p\in \Gamma ,\end{array}$

mit der zugehörigen Interpretation $I$. Wir behaupten

$I^{\models }=\Gamma ,$

was wir über den Aufbau der Sprache beweisen. Der Induktionsanfang ist durch die gewählte Belegung gesichert, der Induktionsschritt folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage