Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}V$ eine Menge an Aussagenvariablen und ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes ${}\alpha \in L^{V}$ ist entweder ${}\alpha \in \Gamma$ oder ${}\neg \alpha \in \Gamma$.
2. Aus ${}\Gamma \vdash \alpha$ folgt ${}\alpha \in \Gamma$.
3. Es ist ${}\alpha \wedge \beta \in \Gamma$ genau dann, wenn ${}\alpha \in \Gamma$ und ${}\beta \in \Gamma$.
4. Es ist ${}\alpha \rightarrow \beta \in \Gamma$ genau dann, wenn ${}\alpha \not \in \Gamma$ oder ${}\beta \in \Gamma$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen