Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und  $\mathrm{\Gamma }\subseteq L^V$  eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes  $\alpha \in L^V$  ist entweder  $\alpha \in \mathrm{\Gamma }$  oder  $\mathrm{\neg }\alpha \in \mathrm{\Gamma }$. 
2. Aus $\mathrm{\Gamma }⊢\alpha$ folgt  $\alpha \in \mathrm{\Gamma }$. 
3. Es ist  $\alpha \wedge \beta \in \mathrm{\Gamma }$  genau dann, wenn  $\alpha \in \mathrm{\Gamma }$  und  $\beta \in \mathrm{\Gamma }$. 
4. Es ist  $\alpha \to \beta \in \mathrm{\Gamma }$  genau dann, wenn  $\alpha \notin \mathrm{\Gamma }$  oder  $\beta \in \mathrm{\Gamma }$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen