Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Sukzessive Implikationen/Beispiel

Wir betrachten die Aussagenvariablenmenge $\{p_1,p_2,p_3,\dots \}$ und die Ausdrucksmenge

$\Gamma =\{p_1\to p_2,p_2\to p_3,p_3\to p_4,\dots \}.$

Diese wollen wir zu einer maximal widerspruchsfreien Menge gemäß Fakt ergänzen. Wenn wir im ersten Schritt $p_1$ hinzunehmen, so ergibt sich sukzessive $p_i\in {\Gamma }_1$ für alle $i\in \mathbb{N}$. Es ist dann ${\Gamma }_1$ schon maximal widerspruchsfrei. Wählt man hingegen im ersten Schritt $\mathrm{\neg }{p}_1$, so gehört weder $p_2$ noch $\mathrm{\neg }{p}_2$ zu ${\Gamma }_1$. Beim zweiten Schritt hat man dann die Freiheit, ob man $p_2$ oder $\mathrm{\neg }{p}_2$ zur Definition von ${\Gamma }_2$ hinzunimmt, und so weiter.