Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Sukzessive Implikationen/Beispiel

Wir betrachten die Aussagenvariablenmenge ${}\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}$ und die Ausdrucksmenge

${}\Gamma =\{p_{1}\rightarrow p_{2},\,p_{2}\rightarrow p_{3},\,p_{3}\rightarrow p_{4},\,\ldots \}\,.$

Diese wollen wir zu einer maximal widerspruchsfreien Menge gemäß Fakt ergänzen. Wenn wir im ersten Schritt ${}p_{1}$ hinzunehmen, so ergibt sich sukzessive ${}p_{i}\in \Gamma _{1}$ für alle ${}i\in \mathbb {N}$. Es ist dann ${}\Gamma _{1}$ schon maximal widerspruchsfrei. Wählt man hingegen im ersten Schritt ${}\neg p_{1}$, so gehört weder ${}p_{2}$ noch ${}\neg p_{2}$ zu ${}\Gamma _{1}$. Beim zweiten Schritt hat man dann die Freiheit, ob man ${}p_{2}$ oder ${}\neg p_{2}$ zur Definition von ${}\Gamma _{2}$ hinzunimmt, und so weiter.