Basisaustauschsatz/1/Beispiel

Wir betrachten die Standardbasis $e_1,e_2,e_3$ des $K^3$ und die beiden linear unabhängigen Vektoren $u_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und $u_2=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 2\end{array}\right)$, die wir mit Hilfe der Standardbasis gemäß dem im Beweis zum Basisaustauschsatz beschriebenen Verfahren zu einer Basis ergänzen wollen. Betrachten wir zunächst

$u_1=3e_1+2e_2+e_3.$

Da sämtliche Koeffizienten nicht $0$ sind, kann man $u_1$ mit je zwei der Standardvektoren zu einer Basis ergänzen. Wir nehmen die neue Basis

$u_1,e_1,e_2.$

Als zweiten Schritt wollen wir $u_2$ in die Basis mitaufnehmen. Es ist

$u_2=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)-e_1=2u_1-e_1+0e_2.$

Nach dem Beweis müssen wir $e_1$ rauswerfen, da es mit einem Koeffizienten $\ne 0$ in dieser Gleichung vorkommt ($e_2$ dürften wir nicht rauswerfen). Die neue Basis ist somit

$u_1,u_2,e_2.$