Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis

$b_{1},\ldots ,b_{n}.$

Ferner sei

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$.

Dann gibt es eine Teilmenge ${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist.

Insbesondere ist ${}k\leq n$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen