Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt

Basisaustauschsatz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum mit einer Basis

b_{1}, \dots, b_{n} .

Ferner sei

u_{1}, \dots, u_{k}

eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in $V$ .

Dann gibt es eine Teilmenge

$J = {i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} \subseteq {1, \dots, n} = I$

derart, dass die Familie

$u_{1}, \dots, u_{k}, b_{i}, i \in I ∖ J,$

eine Basis von $V$ ist.

Insbesondere ist $k \leq n$ .