Basiswechsel/7-4/81 und 46/73/Punkt mit Koordinaten -25/Allgemein/Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

a) Zeige, dass sowohl ${}{\mathfrak {v}}$ als auch ${}{\mathfrak {u}}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

b) Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(-2,5)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ beschreibt.

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