Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei

u_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j i} v_{j}

und

v_{j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k j} w_{k} .

Dann ist

M_{𝔳}^{𝔲} = (a_{j i})

und

M_{𝔴}^{𝔳} = (b_{k j}) .

Somit ist

\begin{matrix} u_{i} & = \sum_{j = 1}^{n} a_{j i} v_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} a_{j i} (\sum_{k = 1}^{n} b_{k j} w_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} b_{k j} a_{j i}) w_{k} . \end{matrix}

Der Koeffizient vor

w_{k}

ist dabei das Produkt aus der

k

-ten Zeile von

M_{𝔴}^{𝔳}

und der

i

-ten Spalte von

M_{𝔳}^{𝔲}

, und dies ist der Eintrag

{(M_{𝔴}^{𝔲})}_{i k}

.