Basiswechsel/R^2/Standard und 12,-23/Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

und die Basis

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

Die Basisvektoren von ${}{\mathfrak {v}}$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}=-2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

Daher erhält man sofort

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}\,.$

Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(4,-3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ die Koordinaten

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {2}{7}}\\-{\frac {2}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}\,.$