Basiswechsel/Streckungen/Übergangsmatrix/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}v_{i}=a_{i}^{-1}w_{i}\,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Daher ist ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von ${}V$ und somit eine Basis, da die Dimension ${}n$ ist und ${}n$ Vektoren vorliegen.

b) In den Spalten von ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren ${}w_{j}$ bezüglich der Basis ${}v_{i}$ stehen, also ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

c) Es ist

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}\,.$

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\2a_{2}\\\vdots \\na_{n}\end{pmatrix}}\,.$

e) Die Koordinaten ergeben sich aus

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{-1}\\2a^{-1}\\\vdots \\2^{n}a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe