Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Bedingte Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum , Gleichverteilung über und . . In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse:

  • : Stochastik-Klausur bestanden
  • : Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden
  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht man die Stochastik-Klausur , wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. erfüllt ist)?

Vorlüberlegung[Bearbeiten]

Wir nehmen an, dass das Ereignis eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von , unter der Bedingung, dass eingetreten ist?

  1. Wenn die Bedingung eintritt, so kann nur dann eintreten, wenn das Ereignis eintritt.
  2. Wir konzentrieren uns auf die Realisationen und betrachten sie als gleichwahrscheinlich (Laplace-Verteilung).
  3. Allgemein gilt dann für alle .

Berechnung mit Laplace-Verteilung[Bearbeiten]

Damit kann die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung wie folgt definiert werden:

Dabei wurde der Bruch mit erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse und zu erzeugen.

Definition[Bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, mit .

a) Die Abbildung , die gemäß definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über unter (der Bedingung) .
b) Die Zahl heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von unter (der Bedingung) .

Aufgabenstellung[Bearbeiten]

  1. Beweisen Sie, dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum ist.
  2. Es gilt . Die Wahrscheinlichkeit von ist allerdings auf konzentriert".
  • Zeigen Sie dazu, dass für alle
  • Zeigen Sie, dass für , gilt, dass (Hinweis: Zeigen Sie, dass gilt!)

Tausch der Bedingung und Ereignis[Bearbeiten]

Weißer und schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, mit dem schwarzen Würfel eine '6' zeigt () unter der Bedingung, dass die Summe der Augenzahlen '11' beträgt ().

  • Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Berechnen Sie ferner die Wahrscheinlichkeit , also der Wahrscheinlichkeit, dass die Würfelsumm 11 beträgt unter der Bedingung, dass der schwarze Würfel eine 6 zeigt.

Anmerkung[Bearbeiten]

Formt man die Definitionsformel von oben um zu , so kann die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von und durch mit der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen.

Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen.

Anmerkung

Definition: Zerlegung[Bearbeiten]

heißt Zerlegung von auf , falls für alle und Zerlegung

Zerlegungssatz[Bearbeiten]

Sei eine Zerlegung von auf . Für jedes sei eine auf konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf gegeben (d.h. ) sowie Zahlen mit .

  • (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf mit
    • (i) .
    • (ii) , falls für alle .
  • (b) Es gilt für jedes .

Zerlegungsatz 1

Beweis Existenz (i)[Bearbeiten]

Man definiere gemäß Formel b) und rechnet nach, dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten

Daraus folgt sofort (ai) .

Beweis Existenz (ii)[Bearbeiten]

Für ein beliebiges und gilt

also ii).

Beweis Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Sei eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für und wegen die Gleichung

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Für jedes und eine Zerlegung von auf gilt also für alle :

("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit").

Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von .

Formel von Bayes (Satz)[Bearbeiten]

Ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , einer Zerlegung von auf , so gilt für jedes mit und

Beweis[Bearbeiten]

Bemerkung[Bearbeiten]

Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von .

Beispiel (Test auf eine Krankheit)[Bearbeiten]

sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. der Bevölkerung () leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei der Kranken aus an und bei der Gesunden () positiv an ( Sensitivität, Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person die Krankheit,

  • wenn der Test positiv ausfällt?
  • wenn der Test negativ ausfällt?

Produktformel (Satz)[Bearbeiten]

Sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und seien mit . Dann gilt die sogenannte "Produktformel":

Beweis[Bearbeiten]

Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen

Bemerkung[Bearbeiten]

Dieser Satz verallgemeinert die Formel

Seiten-Information[Bearbeiten]

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