Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/Fakt/Beweis2

Wir berechnen $\sigma (m)$, $\sigma (n)$ und $m+n$. Es ist

${\begin{aligned}\sigma (m)&=\sigma (2^{k}ab)\\&=\sum _{i=0}^{k}(2^{i}+2^{i}a+2^{i}b+2^{i}ab)\\&=(2^{k+1}-1)(1+a+b+ab)\\&=(2^{k+1}-1)(3\cdot 2^{k-1}+3\cdot 2^{k}-1+(3\cdot 2^{k-1}-1)(3\cdot 2^{k}-1))\\&=(2^{k+1}-1)(3\cdot 2^{k-1}+3\cdot 2^{k}-1+9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k}-3\cdot 2^{k-1}+1)\\&=(2^{k+1}-1)(9\cdot 2^{2k-1})\\&=2^{k}(2^{k+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{k-1}\,.\end{aligned}}$

Weiter ist

${\begin{aligned}\sigma (n)&=\sigma (2^{k}c)\\&=\sum _{i=0}^{k}(2^{i}+2^{i}c)\\&=(2^{k+1}-1)(1+c)\\&=(2^{k+1}-1)9\cdot 2^{2k-1}\,.\end{aligned}}$

Schließlich ist

${\begin{aligned}m+n&=2^{k}(ab+c)\\&=2^{k}((3\cdot 2^{k-1}-1)(3\cdot 2^{k}-1)+9\cdot 2^{2k-1}-1)\\&=2^{k}(9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k-1}-3\cdot 2^{k}+9\cdot 2^{2k-1})\\&=2^{k}(9\cdot 2^{2k}-9\cdot 2^{k-1})\\&=2^{k}2^{k-1}\cdot 9(2^{k+1}-1)\,.\end{aligned}}$