Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Beispiel 3

Es sei

${}Q=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0\rbrace$

und es sei die Projektivität ${}f$ gegeben durch die Matrix

${}S={\begin{pmatrix}0&2&0\\1&0&1\\2&1&0\end{pmatrix}}$.

Es ist

${}A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,S^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&0\\1&4&-2\end{pmatrix}}$.

Dann ist

${}(S^{-1})^{T}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&0&4\\2&0&-2\end{pmatrix}}$

und

${}(S^{-1})^{T}\cdot A={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&0&4\\2&0&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\0&0&-4\\2&0&2\\\end{pmatrix}}$,

also

${}(S^{-1})^{T}\cdot A\cdot S^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\0&0&-4\\2&0&2\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&0\\1&4&2\end{pmatrix}}={\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}-4&-4&0\\-4&-16&8\\0&8&0\end{pmatrix}}$

und wenn man die Matrix hat, kann man wieder die Gleichung kriegen.

${}f(Q)=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} (\mathbb {R} ):X_{0}^{2}+8x_{1}^{2}+4x_{0}x_{1}-8x_{1}x_{2}=0\rbrace$.