Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken

Projektive Quadriken

In diesem Vortrag betrachten wir den projektiven Abschluß von Quadriken und sei ${}K$ ein Körper mit ${}char(K)\neq 2$.

Jede Hyperebene eines projektiven Raumes kann man durch eine homogene lineare Gleichung beschreiben. Nullstellenmenge quadratischer Gleichungen heißen Quadriken. Eine Quadrik ist, in Abhängigkeit von der Anzahl der Variablen, eine Kurve, Fläche oder Hyperfläche zweiter Ordnung. Ihre Gleichung entsteht durch Nullsetzen einer quadratischen Funktion.

Definition (Homogenen Polynom)

Das Polynom ${}P\in K\lbrack X_{0},\ldots ,X_{n}\rbrack$ heißt homogen, von Grad zwei in den unbestimmten ${}X_{0},\ldots ,X_{n}$ mit Koeffizienten ${}\alpha _{ij}$ aus einem Körper ${}K$, wenn ${}P$ die Darstellung

${}P(X_{0},\ldots ,X_{n})=\sum _{0\leq i\leq j\leq n}\alpha _{ij}X_{i}X_{j}$

besitzt.

Ein homogenes Polynom ist also dadurch ausgezeichnet, dass alle darin vorkommenden Monome denselben Grad – im Fall eines quadratischen Polynoms also den Grad 2 – besitzen.

Beispiel

Das Polynom ${}P_{1}=X_{0}^{2}+2X_{1}X_{0}+X_{1}^{2}$ ist homogen, das Polynom ${}P_{2}=X_{0}^{2}+2X_{1}X_{0}+X_{1}^{2}+X_{0}+1$ jedoch nicht.

Definition (Projektive Quadrik)

Eine Teilmenge ${}Q{\subset \mathbb {P} _{n}(K)}$ heißt projektive Quadrik, (oder Hyperfläche zweiter Ordnung,) wenn ein homogenes Polynom ${}P\in K\lbrack X_{0},\ldots ,X_{n}\rbrack$ vom Grad zwei existiert, so dass gilt

${}Q=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})\in \mathbb {P} _{n}(K):P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\rbrace \,.$

Hier ist zu bemerken, dass für ${}\lambda \in K^{*}$ jedes homogene Polynom ${}P\in K\lbrack X_{0},\ldots ,X_{n}\rbrack$ die Gleichung ${}P(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{2}P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ erfüllt. Daher gilt

${}P(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})=0\Longleftrightarrow P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$.

Aus diesem Grund entspricht der Nullstellenmenge eines homogenen Polynoms in ${}K\lbrack X_{0},\ldots ,X_{n}\rbrack$ auch eindeutig eine Teilmenge des projektiven Raumes ${}\mathbb {P} _{n}(K)$, das heißt die Menge

${}\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n});P(x_{0},\ldots ,x_{n}\rbrace )=0$

ist wohldefiniert. Dies ist für allgemeine Polynome aus ${}K\lbrack X_{0},\ldots ,X_{n}\rbrack$ nicht der Fall. So enthält zum Beispiel die Nullstellenmenge des inhomogenen Polynoms ${}$ den Punkt ${}(1,1)$, aber keinen der Punkt ${}(\lambda ,\lambda ){\text{ für }}\ \lambda \notin \lbrack 0,1\rbrack$.

Ganz allgemein besteht ein enger Zusammenhang zwischen Quadriken und symmetrischen Bilinearformen. Wir werden sehen wie sich projektiven Quadriken ${}Q\in \mathbb {P} _{n}$ durch symmetrische Bilinearformen

${}\Phi :K^{n+1}\times K^{n+1}\longrightarrow K$

beschreiben.

Bemerkung  

Wir wollen jetzt zeigen, dass man durch Entfernen einer geeigneten projektiven Gerade in ${}\mathbb {P} _{2}$ als affinen Anteil von ${}Q$

1. einen Kreis
2. eine Hyperbel
3. eine Parabel

erhält.

Sei ${}Q$ die durch die Gleichung ${}x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$ gegebene projektive Quadrik in ${}\mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )$. Die Gleichung ${}x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$ beschreibt einen Kreiskegel in ${}\mathbb {R} ^{3}$. Die affinen Anteile von ${}Q$ lassen sich als die Summe von ${}Q$ mit den entsprechenden projektiven Geraden veranschaulichen.

1. Sei ${}H=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}=0\rbrace$.Dann ist ${}Q\cap H=\emptyset$ und wir betrachten die kanonische Einbettung

   ${}i:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )\setminus H,(x_{1},x_{2})\longmapsto (1:x_{1}:x_{2})$.

   Dann ist

   ${}i^{-1}(Q)=\lbrace (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\rbrace$.

   Dies ist ein Kreis. Geometrisch kann man sich diesen als Schnitt des Kreiskegels mit der Hyperfläche ${}x_{0}=1$ vorstellen.
2. Im Fall ${}H=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{1}=0\rbrace$ besteht ${}Q\cap H$ aus zwei Punkte. Wir betrachten die Affinität

   ${}i:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )\setminus H,(x_{0},x_{2})\longmapsto (x_{0}:1:x_{2})$.

   Dann ist

   ${}i^{-1}(Q)=\lbrace (x_{0},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{0}^{2}-x_{2}^{2}=1\rbrace$.

   Dies ist eine Hyperbel in ${}\mathbb {R} ^{2}$, die man sich als Schnitt von ${}K$ mit der Hyperebene ${}x_{1}=1{\text{ also }}\mathbb {R} ^{3}$ veranschaulichen kann.
3. Sei ${}H=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}+x_{2}=0\rbrace$. In diesem Fall hat ist ${}Q\cap H$ ein Punkt, wir haben wieder eine Affinität

   ${}i:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )\setminus H,(x_{1},x_{2})\longmapsto ((1:x_{2}):x_{1}-x_{2})$.

   Wir erhalten

   ${}i^{-1}(Q)=\lbrace (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}^{2}+2x_{1}=1\rbrace$.

   Dies ist eine Parabel. Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ entsteht sie als Schnitt des Kegels ${}K$ mit der Ebene ${}x_{0}+x_{2}=1$.

An den Bildern kann man sehen, wie bei Zentralprojektionen aus einem Kreis eine Hyperbel oder Parabel entstehen kann. Man stellt sich die Spitze des Kreises als Projektionszentrum und die Mantellinie als Projektionsstrahlen vor.

Die projektive Ebene besteht aus allen Geraden im affinen Raum, die durch den Nullpunkt gehen. Ein Punkt in der projektiven Ebene entspricht also einer Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum. Wenn man den Kegel betrachtet, dann hat man eine Menge von Geraden. Und die Menge dieser Geraden ist in der projektiven Ebene eine Teilmenge, die aussieht wie ein Kreis. Im affinen Raum wird jede Gerade in der projektiven Ebene als ein Punkt gedacht. Die Punkte in ${}\mathbb {P} _{2}$ sind die Geraden in ${}\mathbb {A} ^{3}$.

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Quadriken und symmetrischen Bilinearformen.

Bemerkung  

Es sei ${}P(X_{0},X_{1},X_{2})=\sum _{i\leq j}\alpha _{ij}X_{i}\cdot X_{j}$ ein homogenes Polynom zweiten Grades mit Koeffizienten ${}\alpha _{ij}\in K$ gegeben. Wir definieren dazu eine symmetrische Matrix ${}A=(a_{ij})\in M((n+1)\times (n+1);K)$ durch

${}a_{ij}:={\begin{cases}\alpha _{ij}&{\text{ für }}i=j,\\{\frac {1}{2}}\alpha _{ij}&{\text{ für }}i<j,\\{\frac {1}{2}}\alpha _{ji}&{\text{ für }}i>j.\end{cases}}$

wobei ${}0\leq i,j\leq n$ ist. Dann ist ${}A=(a_{ij})$ eine symmetrische Matrix, definiert also eine symmetrische Bilinearform auf ${}K^{n+1}$. Für jeden Spaltenvektor ${}x=(x_{0},\ldots ,x_{n})^{T}\in K^{n+1}$ gilt

${}x^{T}Ax=\sum _{i\leq j}\alpha _{ij}X_{i}X_{j}=P(x)$.

Zu jeder Quadrik ${}Q=\mathbb {P} (C)\subset \mathbb {P} _{n}(K)$ gibt es also eine symmetrische Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1);K)$, so dass

${}Q=\lbrace x=(x_{0}:\ldots :x_{n})^{T}\in \mathbb {P} _{n}(K):x^{T}Ax=0\rbrace$.

Dabei ist die Matrix ${}A$ nur bis auf einen Faktor ${}\rho \in K^{*}$ eindeutig bestimmt. Umgekehrt gehört zu jeder symmetrischen Bilinearform

${}\Phi :K^{n+1}\times K^{n+1}\longrightarrow K$,

eine quadratische Form

${}q=K^{n+1}\longrightarrow K,\,\,\ x\longmapsto \Phi (x,x)$

und damit eine projektive Quadrik

${}Q=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})^{T}:\Phi (x,x)=0\rbrace$.

Wir werden sehen, dass Quadriken projektive Unterräme unter Projektivitäten invariant bleiben. Das heist, dass für jede Quadrik ${}Q\in \mathbb {P} _{n}(K)$ und jede Projektivität ${}f:\mathbb {P} _{n}(K)\longrightarrow \mathbb {P} _{n}(K)$ auch ${}f(Q)$ eine Quadrik ist.

Bemerkung

Sei ${}f:\mathbb {P} _{n}(K)\longrightarrow \mathbb {P} _{n}(K)$ eine Projektivität und ${}Q\subset \mathbb {P} _{n}(K)$ eine Quadrik, so ist auch ${}f(Q)\subset \mathbb {P} _{n}(K)$ eine Quadrik.

Beweis

Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Projektivitäten invariant bleiben//Beweis

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Beispiel

Es sei

${}Q=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0\rbrace$

und es sei die Projektivität ${}f$ gegeben durch die Matrix

${}S={\begin{pmatrix}0&2&0\\1&0&1\\2&1&0\end{pmatrix}}$.

Es ist

${}A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,S^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&0\\1&4&-2\end{pmatrix}}$.

Dann ist

${}(S^{-1})^{T}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&0&4\\2&0&-2\end{pmatrix}}$

und

${}(S^{-1})^{T}\cdot A={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&0&4\\2&0&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\0&0&-4\\2&0&2\\\end{pmatrix}}$,

also

${}(S^{-1})^{T}\cdot A\cdot S^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\0&0&-4\\2&0&2\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&0\\1&4&2\end{pmatrix}}={\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}-4&-4&0\\-4&-16&8\\0&8&0\end{pmatrix}}$

und wenn man die Matrix hat, kann man wieder die Gleichung kriegen.

${}f(Q)=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} (\mathbb {R} ):X_{0}^{2}+8x_{1}^{2}+4x_{0}x_{1}-8x_{1}x_{2}=0\rbrace$.

Wie wir gesehen haben, können sich die Gleichungen von Quadriken bei der Anwendung von Projektivitäten ändern. Die projektiv-geometrischen Eigenschaften bleiben aber erhalten.

Definition (Geometrisch äquivalent)

Zwei Quadriken ${}Q,Q^{\prime }\in \mathbb {P} _{n}(K)$ heißen projektiv äquivalent oder geometrisch, wenn es eine Projektivität ${}f:\mathbb {P} _{n}(K)\longrightarrow \mathbb {P} _{n}(K)$ mit ${}Q^{\prime }=f(Q)$ gibt. Bezeichnung: ${}Q\sim Q^{\prime }$

Beispiel

Die beiden Quadriken

${}Q=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0\rbrace$

und

${}Q^{\prime }\lbrace ((x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0\rbrace$

sind nicht geometrisch äquivalent, denn ${}Q^{\prime }$ besteht aus zwei Geraden und ${}Q$ enthält keine Gerade.

Wir werden uns den Satz über die projektive Hauptachsentransformation anschauen. Hauptachsentransformation bedeutet in diesem Zusammenhang, eine Quadrik mittels einer Projektivität auf eine geometrisch äquivalente Quadrik abzubilden, die durch eine besonders einfache standardisierte Gleichung beschrieben wird, in der keine gemischten Variablen mehr vorkommen. Der Satz über die Hauptachsentransformation besagt, dass sich jede projektive Quadrik dergestalt auf Hauptachsen transformieren lässt. Er ermöglicht es daher, zu jeder Klasse geometrisch äquivalenter Quadriken einen eindeutigen Repräsentanten in Hauptachsenform anzugeben, was bei der Klassifikation von Quadriken eine tragende Rolle spielt. Der Satz besitzt für komplexe und reelle Quadriken jeweils eine eigene Formulierung.

Satz (projektive Hauptachsentransformation)

1. Zu jeder Quadrik ${}Q\subset \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} )$ gibt es eine geometrisch äquivalente Quadrik

   ${}Q^{\prime }=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})\in \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ):x_{0}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{m}^{2}=0\rbrace ,\,\,\ {\text{ wobei }}\,\,\ -1\leq k\leq m\leq n$.

2. Zu jeder Quadrik ${}Q\subset \mathbb {P} _{n}({\mathbb {C} })$ gibt es eine geometrisch äquivalente Quadrik

   ${}Q^{\prime }=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})\in \mathbb {P} _{n}({\mathbb {C} }):x_{0}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}=0\,\,\ {\text{ wobei }}\,\,\ -1\leq m\leq n$.

Die äquivalente matrizentheoretische Formulierung lautet

1. Zu jeder symmetrischen Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1),\mathbb {R} )$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl, ${}k$ mit ${}-1\leq m,\,\,k\leq n$ und ${}k+1\geq m-k$ und eine invertierbare Matrix ${}S\in GL({n+1},\mathbb {R} )$, so dass

   ${}S^{-1}AS={\begin{pmatrix}E_{l+1}&0&0\\0&-E_{k-l}&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   gilt.
2. Zu jeder symmetrischen Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1),{\mathbb {C} })$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl, ${}m\leq k$ und eine invertierbare Matrix ${}S\in GL({n+1},{\mathbb {C} })$ mit

   ${}S^{-1}AS={\begin{pmatrix}E_{k}&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   gilt.

Beweis

Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Fakt/Beweis

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Mit dem von lineare Algebra bekannten Hilfsmitteln kann man ein allgemeines Rechenverfahren angeben, um die zur Hauptachentransformation erforderliche Transformationsmatrix zu bestimmen. Wir beschränken uns dabei auf den reellen Fall. Im komplexen Fall verläuft das Verfahren analog. Wie wir gesehen haben, genügt es, zu einer symmetrischen Matrix ${}A$ eine invertierbar Matrix ${}C$ anzugeben, so dass

${}B:=C^{C}AC={\begin{pmatrix}+1&\cdots &0\\\,\,\,\ \ddots \\+1-1\\&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}\,$

Lemma

Sei

${}Q=\lbrace (x\in \mathbb {P} _{n}(\mathbb {K} );x^{T}Ax=0\rbrace \,\,\,\,(\mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} })$

mit einer symmetrischen Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1),\mathbb {Z} )$. Die Frage läuft darauf hinaus, die nach dem Satz über die Hauptachsentransformation existierende Matrix ${}S\in GL(n+1,\mathbb {K} )$ zu bestimmen mit der ${}D:=S^{-1}$ die Gestalt

${}S^{-1}AS={\begin{pmatrix}E_{l+1}&0&0\\0&-E{k-l}&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ beziehungsweise ${}S^{-1}AS={\begin{pmatrix}E_{k}&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

Die Matrix ${}S^{-1}$ beschreibt dann die Projektivität, die ${}Q$ auf die geometrisch äquivalente Quadrik ${}Q^{\prime }$ in Normalform abbildet. Als Element aus ${}GL(n+1,\mathbb {K} )$ lässt sich ${}S$ als Produkt ${}C_{1}\dotsb C_{s}$ von Elementarmatrizen schreiben. Es gilt also

${}B=C_{n}^{T}\dotsb C_{1}^{T}\cdot A\cdot C_{1}\dotsb C_{n}$.

Die Multiplikation von rechts mit den Matrizen ${}C_{1},\ldots ,C_{k}$ beschreibt eine Reihe elementarer Zeilenumformungen, die Multiplikation von links mit den Matrizen ${}C_{1}^{T},\ldots ,C_{k}^{T}$ die Serie entsprechender elementarer Spaltenumformungen. Man erhält ${}B=C_{1}\dotsb C_{k}$, wenn man an ${}E_{n+1}$ die gleichen Zeilenumformungen durchführt. Dies führt auf folgendes Verfahren. Man transformiere ${}A$ durch elementare Zeilenumformungen, gefolgt von den entsprechenden elementaren Spaltenumformungen auf eine Matrix des Typs B um. Gleichzeitig wende man auf ${}E_{n+1}$ die Zeilenumformungen an. Die auf diese Weise aus ${}E_{n+1}$ erhaltene Matrix ist die gesuchte Matrix T. Schematisch kann man das so darstellen:

$A$	$E_{n+1}$
$C_{1}^{T}AC_{1}$	$E_{n+1}C_{1}$
$\vdots$	$\vdots$
$B=C_{k}^{T}\dotsb C_{1}^{T}AC_{1}\dotsb C_{k}$	$E_{n+1}C_{1}\dotsb C_{k}=T$

Mit ${}S:=T^{-1}$ ist die gesuchte Transformationsmatrix gefunden, und es gilt

:${}{\begin{aligned}Q^{\prime }&=\lbrace (y_{0}:\ldots :y_{n});y^{T}(S^{T}AS)y=0\rbrace \\&=\lbrace (y_{0}:\ldots :y_{n});(Sy)^{T}A(Sy)=0\rbrace \\&=\lbrace S(x_{0}:\ldots :x_{n})^{T};x^{T}Ax=0\rbrace =f(Q).\\\,\end{aligned}}$

Beweis

Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Transformationsmatrix/Fakt/Beweis

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