Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Bemerkung 1

Es sei ${}P(X_{0},X_{1},X_{2})=\sum _{i\leq j}\alpha _{ij}X_{i}\cdot X_{j}$ ein homogenes Polynom zweiten Grades mit Koeffizienten ${}\alpha _{ij}\in K$ gegeben. Wir definieren dazu eine symmetrische Matrix ${}A=(a_{ij})\in M((n+1)\times (n+1);K)$ durch

${}a_{ij}:={\begin{cases}\alpha _{ij}&{\text{ für }}i=j,\\{\frac {1}{2}}\alpha _{ij}&{\text{ für }}i<j,\\{\frac {1}{2}}\alpha _{ji}&{\text{ für }}i>j.\end{cases}}$

wobei ${}0\leq i,j\leq n$ ist. Dann ist ${}A=(a_{ij})$ eine symmetrische Matrix, definiert also eine symmetrische Bilinearform auf ${}K^{n+1}$. Für jeden Spaltenvektor ${}x=(x_{0},\ldots ,x_{n})^{T}\in K^{n+1}$ gilt

${}x^{T}Ax=\sum _{i\leq j}\alpha _{ij}X_{i}X_{j}=P(x)$.

Zu jeder Quadrik ${}Q=\mathbb {P} (C)\subset \mathbb {P} _{n}(K)$ gibt es also eine symmetrische Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1);K)$, so dass

${}Q=\lbrace x=(x_{0}:\ldots :x_{n})^{T}\in \mathbb {P} _{n}(K):x^{T}Ax=0\rbrace$.

Dabei ist die Matrix ${}A$ nur bis auf einen Faktor ${}\rho \in K^{*}$ eindeutig bestimmt. Umgekehrt gehört zu jeder symmetrischen Bilinearform

${}\Phi :K^{n+1}\times K^{n+1}\longrightarrow K$,

eine quadratische Form

${}q=K^{n+1}\longrightarrow K,\,\,\ x\longmapsto \Phi (x,x)$

und damit eine projektive Quadrik

${}Q=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})^{T}:\Phi (x,x)=0\rbrace$.