Es sei
ein homogenes Polynom zweiten Grades mit Koeffizienten
gegeben. Wir definieren dazu eine symmetrische Matrix
durch
![{\displaystyle {}a_{ij}:={\begin{cases}\alpha _{ij}&{\text{ für }}i=j,\\{\frac {1}{2}}\alpha _{ij}&{\text{ für }}i<j,\\{\frac {1}{2}}\alpha _{ji}&{\text{ für }}i>j.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0ed6a156c9c4fe9e4e2e1bc97a7689ba411ac4)
wobei
ist.
Dann ist
eine symmetrische Matrix, definiert also eine symmetrische Bilinearform auf
. Für jeden Spaltenvektor
gilt
.
Zu jeder Quadrik
gibt es also eine symmetrische Matrix
, so dass
.
Dabei ist die Matrix
nur bis auf einen Faktor
eindeutig bestimmt. Umgekehrt gehört zu jeder symmetrischen Bilinearform
,
eine quadratische Form
![{\displaystyle {}q=K^{n+1}\longrightarrow K,\,\,\ x\longmapsto \Phi (x,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90397354386d7d7e0e8cdf02205fccfb603b6f2a)
und damit eine projektive Quadrik
.