Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Fakt

1. Zu jeder Quadrik ${}Q\subset \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} )$ gibt es eine geometrisch äquivalente Quadrik

   ${}Q^{\prime }=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})\in \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ):x_{0}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{m}^{2}=0\rbrace ,\,\,\ {\text{ wobei }}\,\,\ -1\leq k\leq m\leq n$.

2. Zu jeder Quadrik ${}Q\subset \mathbb {P} _{n}({\mathbb {C} })$ gibt es eine geometrisch äquivalente Quadrik

   ${}Q^{\prime }=\lbrace (x_{0}:\ldots :x_{n})\in \mathbb {P} _{n}({\mathbb {C} }):x_{0}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}=0\,\,\ {\text{ wobei }}\,\,\ -1\leq m\leq n$.

Die äquivalente matrizentheoretische Formulierung lautet

1. Zu jeder symmetrischen Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1),\mathbb {R} )$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl, ${}k$ mit ${}-1\leq m,\,\,k\leq n$ und ${}k+1\geq m-k$ und eine invertierbare Matrix ${}S\in GL({n+1},\mathbb {R} )$, so dass

   ${}S^{-1}AS={\begin{pmatrix}E_{l+1}&0&0\\0&-E_{k-l}&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   gilt.
2. Zu jeder symmetrischen Matrix ${}A\in M((n+1)\times (n+1),{\mathbb {C} })$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl, ${}m\leq k$ und eine invertierbare Matrix ${}S\in GL({n+1},{\mathbb {C} })$ mit

   ${}S^{-1}AS={\begin{pmatrix}E_{k}&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   gilt.