mit einer symmetrischen Matrix . Die Frage läuft darauf hinaus, die nach dem Satz über die Hauptachsentransformation existierende Matrix zu bestimmen mit der die Gestalt
beziehungsweise .
Die Matrix beschreibt dann die Projektivität, die
auf die geometrisch äquivalente Quadrik in Normalform abbildet.
Als Element aus lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen schreiben. Es gilt also
.
Die Multiplikation von rechts mit den Matrizen beschreibt eine Reihe elementarer Zeilenumformungen, die Multiplikation von links mit den Matrizen die Serie entsprechender elementarer Spaltenumformungen. Man erhält , wenn man an die gleichen Zeilenumformungen durchführt. Dies führt auf folgendes Verfahren. Man transformiere durch elementare Zeilenumformungen, gefolgt von den entsprechenden elementaren Spaltenumformungen auf eine Matrix des Typs B um. Gleichzeitig wende man auf die Zeilenumformungen an. Die auf diese Weise aus erhaltene Matrix ist die gesuchte Matrix T. Schematisch kann man das so darstellen:
Mit ist die gesuchte Transformationsmatrix gefunden, und es gilt
