Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Monomiale Syzygien/Beispiel

Wir betrachten das Syzygienbündel ${}S$ auf der projektiven Ebene zu den Monomen ${}X^{4},Y^{4},Z^{5},X^{3}Y^{3}Z^{3}$, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{5},X^{3}Y^{3}Z^{3}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-4)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-4)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-5)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-9)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(0)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die Einschränkung auf die drei torischen Geraden ist auf ${}V_{+}(X)$ (entsprechend auf ${}V_{+}(Y)$) gleich

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-4)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-9)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-9)$

und auf ${}V_{+}(Z)$ gleich

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-5)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-8)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-9).$

Deshalb sind die Einschränkungen der Tensorierung ${}S(10)$ ampel und daher ist ${}S$ selbst ampel. Die globalen Syzygien sind (Taylor-Auflösung) die Koszul-Syzygien

$(Y^{4},-X^{4},0,0),\,(Z^{5},0,-X^{4},0),\,(0,Z^{5},-Y^{4},0),\,$

und

$(Y^{3}Z^{3},0,0,-X),\,(0,X^{3}Z^{3},0,-Y),\,(0,0,X^{3}Y^{3},-Z^{2}).$

Der Totalgrad der letzten Syzygie ist dabei ${}11$, die andern haben einen Totalgrad von höchstens ${}10$. Damit ist ${}S(10)$ nicht global erzeugt, da im Punkt ${}(0,0,1)$ die ersten fünf Syzygien in der letzten Komponente alle den Wert ${}0$ haben.