Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite

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Kurs:Bündel,_Garben_und_Kohomologie_(Osnabrück_2019-2020)

Kurs:Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2019-2020)/Teil_I

„Proof is the end product of a long interaction between creative imagination and critical reasoning. Without proof the program remains incomplete, but without the imaginative input it never gets started“

Reelle Folge/Stammbrüche/Stetig und Konvergent/Aufgabe

/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt

Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II

Kurs:Singularitätentheorie_(Osnabrück_2019)


/Cogni/Papers

/Kommutative Algebra

/Differentialoperatoren

/Trigonometrische Summen

Kurs:Analysis_(Osnabrück_2014-2016)/Teil_III/Arbeitsblatt_1


Aufgabe

Sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.




Differenzengruppe zu einem Monoid

Wir interessieren uns nun für die Frage, wann ein Monoidring ein Integritätsbereich ist (was nur bei integrem Grundring sein kann) und wie man dann den Quotientenkörper beschreiben kann. Da im Quotientenkörper jedes von verschiedene Element invertierbar sein muss, gilt das insbesondere für die Monome , , und es liegt nahe, nach einer additiven Gruppe zu suchen, die umfasst.


Definition  

Sei ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

mit der Addition

und der Identifikation

die Differenzengruppe zu .

Wir überlassen es dem Leser als Aufgabe, zu zeigen, dass die Differenzengruppe wirklich eine Gruppe ist. Die vorstehende Konstruktion ist natürlich der Konstruktion von Quotientenkörpern bzw. Quotientenringen nachempfunden, man muss nur die multiplikative Schreibweise dort additiv umdeuten. Die Konstruktion der Differenzengruppe ist eigentlich elementarer. Die Differenzengruppe zum additiven Monoid ist natürlich . Die Elemente in einem Monoid kann man direkt im Differenzenmonoid auffassen, und zwar durch den Monoidhomomorphismus

wobei wir statt einfach schreiben. Völlig unproblematisch ist dieser Übergang aber doch nicht, da diese Abbildung im Allgemeinen nicht injektiv sein muss. Das hat damit zu tun, dass in der obigen Definition bei der Identifizierung links und rechts ein auftreten darf (und das lässt sich auch nicht vermeiden). Natürlich will man auch diejenigen Monoide charakterisieren, für die man dieses Extra- nicht braucht.


Definition  

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid die Kürzungsregel gilt (oder dass ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

stets folgt, dass ist.

Für ein solches Monoid ist die Abbildung in die Differenzengruppe injektiv, siehe Aufgabe.



Weitere Begriffe für Monoide


Definition  

Ein kommutatives Monoid heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente gibt derart, dass man jedes als

mit schreiben kann.


Definition  

Ein kommutatives Monoid heißt spitz, wenn das einzige invertierbare Element in ist.


Definition  

Ein kommutatives Monoid heißt torsionsfrei, wenn für aus für eine positive Zahl stets folgt.

Wenn ein endlich erzeugtes, torsionsfreies Monoid mit Kürzungsregel ist, so ist die zugehörige Differenzengruppe isomorph zu und wird auch das Differenzengitter zu genannt.


Definition  

Sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe . Dann heißt das Untermonoid

die Normalisierung von .

Ein Monoid heißt normal, wenn es ein torsionsfreies Monoid mit Kürzungsregel ist und mit seiner Normalisierung übereinstimmt.




Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Textabschnitt

Positive Charakteristik/F-Signatur/Zusammenstellung/Textabschnitt



Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel

Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt


Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt


Verband/Ordnung/Einführung/Textabschnitt

Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln


Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt


Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt

Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt

Aufgabe

Projektiver Raum/D +(f)/Affin/Aufgabe


Aufgabe

Das Personal im Restaurant ist angewiesen, eine Tischdecke auszutauschen, sobald sich auf ihr ein Fleck befindet. Welche der folgende(n) Aussagen sind eine logisch äquivalente Formulierung dieser Aufforderung? Dabei steht für die zweistellige Relation, dass ein Fleck (oder ein Flecktyp) sich auf der Tischdecke befindet, und für die einstellige Relation, dass die Tischdecke ausgewechselt werden soll.


/Lineare Algebra

/BEU

/Parameter/Tabellen

/Sonstiges


Hilfsparameter/Durchnummeriert/400


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass es eine Folge aus Dezimalbrüchen derart gibt, dass eine Nullfolge ist.


Aufgabe

Es sei eine reelle Cauchy-Folge. Zeige, dass es eine Dezimalbruchfolge derart gibt, dass eine Nullfolge ist.


Für die Summennorm auf den beiden Räumen handelt es sich um


/Lineare Algebra

/Homologische Algebra

/Modallogik

Aufgabe

Ein Billardtisch sei cm breit und cm lang, die Kugeln haben einen Radius von cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?

Welche Winkeltoleranz liegt in a) bis d) vor, wenn man die anliegenden Banden mitberücksichtigt?


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

a) Bestimme die erste Ableitung von .

b) Bestimme die zweite Ableitung von .

c) Bestimme den Wendepunkt von .

d) Bestimme das Monotonieverhalten von .

e) Bestimme die Grenzwerte der Funktion für und .

f) Bestimme eine Stammfunktion von .

g) Bestimme das uneigentliche Integral der Funktion über .


Aufgabe

Zeige, dass in einer Struktur, die die Peano-Axiome für den Nachfolger erfüllt, die Aussage

gilt.


Aufgabe

Untersuche die Funktionenfolge

mit

auf punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz und bestimme gegebenenfalls die Grenzfunktion.

Bestimme ferner


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von stetigen Funktionen

die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, wo aber ist für alle .


Aufgabe

Man betrachte die Funktion

die durch

gegeben ist.

a) Zeige, dass stetig ist und dass für alle gilt.

b) Man zeige, dass die Funktionenfolge

auf gleichmäßig konvergiert.

c) Beweise

für alle .

d) Summiere die Reihe in b) und folgere


http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf

http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf

http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf




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