Benutzer:Holger Brenner/Forschung/latex

Mein Arbeitsgebiet ist die algebraische Geometrie und die kommutative Algebra. In den letzten Jahren habe ich hauptsächlich an einer geometrischen Interpretation des tight closure \zusatzklammer {straffer Abschluss} {} {} und der Hilbert-Kunz Theorie gearbeitet, um die reichen Methoden der algebraischen Geometrie, insbesondere die Theorie der Vektorbündel, darauf anwenden zu können. Dabei ergaben sich wechselseitige Beziehungen und neuartige Übersetzungsmöglichkeiten von Problemstellungen, insbesondere zwischen Stabilitätsfragen, Eigenschaften von Syzygienbündeln, Verhalten von Bündeln und Torsoren unter algebraischen und geometrischen Deformationen, Varianz der kohomologischen Dimension.

Dieser Ansatz führte zu einer negativen Lösung des Lokalisierungsproblems \zusatzklammer {2008, gemeinsam mit Paul Monsky} {} {} und zum Rationalitätsbeweis für die Hilbert-Kunz Multiplizität in der Dimension zwei und zur Äquivalenz von tight closure und plus closure in Dimension zwei über einem endlichen Körper. 2013 konnte ich ein Beispiel konstruieren, bei dem die Hilbert-Kunz Multiplizität eine irrationale Zahl ist und damit eine Vermutung von Monsky widerlegen. Ein zweiter Arbeitsschwerpunkt ist die Verknüpfung von nicht-flachen Grothendieck-Topologien mit Abschlussoperationen von Idealen. Ein dritter Arbeitsschwerpunkt ist die kombinatorische kommutative Algebra, wo ich mich der Entwicklung des Binoidkonzeptes widme.

\zwischenueberschrift{Eine geometrische Interpretation von tight closure mittels Vektorbündeln}

Tight closure \zusatzklammer {straffer Abschluss} {} {} ist ein Gebiet der kommutativen Algebra, das seit 1986 von Mel Hochster und Craig Huneke entwickelt wurde und mit Hilfe des Frobenius-Endomorphismus in positiver Charakteristik definiert wird. Es handelt sich dabei um einen systematischen Zugang zur Beweistechnik \anfuehrung{Reduktion zu positiver Charakteristik}{.} Es bestehen vielfältige Beziehungen zur Invariantentheorie, homologischen Algebra, der birationalen Geometrie und der Singularitätentheorie (rationale Singularitäten, Multiplikator-Ideale).

Formal gesehen ist zu einem Ideal $I$ in einem kommutativen Integritätsbereich $R$ der Charakteristik
\mathl{p >0}{} der \stichwort {tight closure} {} durch
\mathdisp {I^* = { \left\{ f \in R \mid \text{es gibt } c \neq 0 \text{ mit } c f^q \in I^{[q]} \text { für alle } q = p^e \right\} }} { , }
wobei
\mathl{I^{[q]}}{} das Erweiterungsideal unter dem $e$-ten Frobenius bezeichnet. In Charakteristik $0$ gelangt man durch Reduktion zu positiver Charakteristik ebenfalls zu einem entsprechenden Idealabschluss.

Für diese Theorie habe ich eine geometrische Interpretation entwickelt, die es erlaubt, die reichen Methoden der algebraischen Geometrie darauf anzuwenden, insbesondere Schnitttheorie, Bündel \zusatzklammer {Vektorbündel, projektive Bündel, Hauptfaserbündel} {} {,} Garbenkohomologie und kohomologische Dimension, Stabilitätseigenschaften. Diese Methode hat insbesondere im Fall von zweidimensionalen graduierten Ringen (mit den zugehörigen projektiven Kurven) neue und neuartige Ergebnisse erbracht. Diese betreffen einerseits numerische Kriterien für den straffen Abschluss in Zusammenhang mit kohomologischen Verschwindungssätzen und andererseits die Frage nach der Übereinstimmung des straffen Abschlusses mit dem Plus-Abschluss und das Lokalisierungsproblem. Mit diesem Ansatz konnte in einer gemeinsamen Arbeit mit Paul Monsky letztlich gezeigt werden, dass tight closure ab der Dimension $3$ nicht mit Lokalisierung verträglich ist.

Für die Frage nach Gradschranken für den straffen Abschluss konnte ich im Zweidimensionalen für den straffen Abschluss eines homogen primären Ideals eine exakte numerische Formel angeben unter der Voraussetzung, dass das Syzygien-Bündel auf der projektiven Kurve stark semistabil ist. Im nicht stark semistabilen Fall gelangt man entlang der (starken) Harder-Narasimhan Filtration zu einem exakten numerischen Kriterium. Im Höherdimensionalen liefert die geometrische Interpretation über die slopes des top-dimensionalen Syzygienbündels immerhin noch recht präzise Inklusionsschranken \zusatzklammer {aber keine exakte Charakterisierung} {} {.}

Der Begriff des stark semistabilen Bündels hat in den letzten Jahren von verschiedenen Seiten großes Interesse gefunden, so in der Konstruktion von Modulräumen \zusatzklammer {Adrian Langer} {} {,} in Zusammenhang mit $p$-adischen Darstellungen der algebraischen Fundamentalgruppe \zusatzklammer {Deninger, Werner} {} {,} im Studium des Undefiniertheitsortes des Frobeniusrückzugs \zusatzklammer {u.a. Lange, Laszlo, Pauly} {} {.}

Die Frage nach der Übereinstimmung von tight closure und plus closure \zusatzklammer {laut Hochster eine \anfuehrung{tantalizing question}{}} {} {} übersetzt sich in dieser geometrischen Interpretation in eine Frage über die Übereinstimmung einer geometrischen und einer kohomologischen Charakterisierung. Im Zweidimensionalen ist dies die Frage, ob die Affinität eines Hauptfaserbündels \zusatzklammer {Torsors} {} {} zu einem Vektorbündel über einer projektiven Kurve äquivalent zur Nichtexistenz von projektiven Kurven in diesem Torsor ist. Über einer elliptischen Kurve kann dies mit Hilfe der Klassifikation von Atiyah gezeigt werden. Das gleiche gilt für eine beliebige glatte projektive Kurve unter der Bedingung, dass der Grundkörper der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers ist. Dieser Satz beruht auf der oben angesprochenen numerischen Charakterisierung des straffen Abschlusses, der Existenz der starken Harder-Narasimhan Filtration \zusatzklammer {Langer} {} {,} der Periodizität von Frobenius-pull-backs im Modulraum über einem endlichen Körper, und der Trivialisierbarkeit von stark semistabilen Vektorbündeln vom Grad null in endlichen Überlagerungen \zusatzklammer {Lange-Stuhler} {} {.}

In einer gemeinsamen Arbeit mit Paul Monsky gelang es 2007, ein Beispiel zu etablieren, das zeigt, dass über einem Körper mit transzendenten Elementen \zusatzklammer {nämlich ${\mathbb F}_2(t)$} {} {,} der als generischer Körper einer geeigneten Familie realisiert wird, die Gleichheit zwischen tight closure und plus closure nicht gilt. In diesem Torsor über einer Kurvenfamilie ist die generische Faser nicht affin, aber alle speziellen Fasern sind affin. Die algebraische Realisierung dieses Beispiels führt zu einem dreidimensionalen Gegenbeispiel zur Lokalisierungsproblem.

In höheren Dimensionen bleiben noch viele Fragen offen, es zeichnet sich aber ab, dass verschiedene Reichhaltigkeitseigenschaften der höheren Syzygien-Bündel eine entscheidende Rolle spielen werden. In diesem Rahmen war auch das ESPRC-finanzierte zweijährige Drittmittelprojekt \anfuehrung{Strongly semistable bundles and tight closure in higher dimensions}{} angesiedelt, in dem ein Post-Doc \zusatzklammer {Frau Dr. Fischbacher-Weitz} {} {} von 2007-2009 angestellt war. Eines der Hauptergebnisse dabei war, dass unter hinreichend generischen Daten die Gradschranken für tight closure universell, d.h. unabhängig von den Ringen bzw. Varietäten sind, und dass diese mit den durch die Fröberg-Vermutung vorausgesagten Gradschranken im Polynomring nahezu übereinstimmen.

Die geometrische Interpretation ermöglichte ebenfalls (gemeinsame Arbeit mit Axel Stäbler), die Gleichheit von dagger closure und solid closure in Dimension zwei zu zeigen. Dabei wird der bewertungstheoretische dagger closure über das Seshadri-Kriterium für ample Geradenbündel mit dem kohomologischen solid closure in Verbindung gebracht. Es konnte auch gezeigt werden, dass der dagger closure für reguläre Ringe in beliebiger Dimension trivial ist.

Diese geometrische Interpretation hat auch Anwendungen in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Fragestellung, wann ein komplexer Raum Steinsch ist. So ergibt sich in natürlicher Weise eine Reihe von Gegenbeispielen zum sogenannten Hyperflächenproblem. Mit den dabei entwickelten Konstruktionsmethoden \zusatzklammer {erzwingende Algebren, Torsore} {} {} konnte ich auch einen neuen Kandidaten für ein Gegenbeispiel zu Zariskis Kürzungsproblem angeben. Dabei weiß man
\mathl{X \times {\mathbb A}^1 \cong {\mathbb A}^5}{,} aber nicht, ob $X$ ein ${\mathbb A}^4$ ist \zusatzklammer {bei der Russell-Kubik ist es genau umgekehrt} {} {.}

\zwischenueberschrift{Hilbert-Kunz Theorie}

Mit tight closure nahe verwandt ist die \stichwort {Hilbert-Kunz Theorie} {,} die von E. Kunz 1969 begründet und von P. Monsky seit 1983 wesentlich weiterentwickelt wurde. Zu einem primären Ideal $I$ in einem lokalen Ring $R$ von positiver Charakteristik $p$ kann man die sogenannte \stichwort {Hilbert-Kunz Funktion} {} durch die Zuordnung
\mathdisp {q \mapsto {\rm length} { \left( R/I^{[q]} \right) }} { }
definieren, wobei
\mathl{q=p^{e}}{} die Primzahlpotenzen durchläuft und
\mathl{I^{[q]} =(f^q : f \in I)}{} ist. Diese Funktion steht in Analogie zu der einfacheren Hilbert-Samuel Funktion und gilt im Allgemeinen als mysteriös. Monsky zeigte 1983, dass der Limes
\mathdisp {\lim_{q \mapsto \infty} {\rm length} ( R/I^{[q]})/q^{\dim R}} { }
existiert und eine positive reelle Zahl ist. Zugleich formulierte er das Problem, ob diese so genannte \stichwort {Hilbert-Kunz Multiplizität} {} eine rationale Zahl ist.

Hier konnte ich im graduierten zwei-dimensionalen Fall eine Formel für die Hilbert-Kunz Multiplizität angeben, in der neben den Graden der Idealerzeuger verschiedene rationale Invarianten der starken Harder-Narasimhan Filtration des Syzygienbündels eingehen. Daraus ergibt sich die Rationalität der Hilbert-Kunz Multiplizität \zusatzklammer {dieses Resultat wurde gleichzeitig und unabhängig von Trivedi erzielt} {} {.} Mit den dabei entwickelten Methoden kann man beweisen, dass der kleinste Term der Hilbert-Kunz Funktion sich \zusatzklammer {über einem endlichen Körper} {} {} letztlich periodisch verhält. In einer neueren Arbeit ist Monsky diesem geometrischen Pfad gefolgt und hat einige meiner Resultate für den Fall von singulären ebenen Kurven partiell verallgemeinert.

In höheren Dimensionen ergeben sich neue Phänome: 2013 konnte ich durch ein Beispiel zeigen, dass die Hilbert-Kunz Multiplizität eine irrationale Zahl sein kann und damit die Vermutung von Monski negativ beantworten. Ausgangspunkt hierfür ist das Studium des Schnittsverhalten von Divisoren auf speziellen $K3$-Flächen, nämlich determinantiellen Quartiken in vier Variablen. Im darüberliegenden homogenen Kegel erhält man irrationales Verhalten für gewisse lokal-kohomologische Varianten der Hilbert-Kunz Multiplizität, woraus man letztlich ein Gegenbeispiel zur Rationalitätsvermutung von Monsky konstruieren kann. In diesem Beispiel ist die Multiplizität eine algebraische Zahl; es ist ein Ziel, bald auch transzendente Beispiele konstruieren zu können.

Das Verhalten der Hilbert-Kunz Multiplizität in einer arithmetischen Familie und die Frage, ob ein Limes für
\mathl{p \mapsto \infty}{} existiert, und was dieser Limes in Charakteristik null bedeutet, ist eine große Herausforderungen. Über Kurven existiert der Limes nach einem Resultat von Trivedi, und hat eine Interpretation mit dem Syzygienbündel. Damit gelangt man auch zu einer Formulierung eines Hilbert-Kunz-Kriteriums für den soliden Abschluss in Charakteristik null. Ferner genügt es für die Limes-Bildung, die Längenfunktion nur für die erste Potenz der Primzahlen zu kennen.

Ein neuer charakteristik-freier Ansatz für die Hilbert-Kunz Theorie wurde von Fischbacher-Weitz und mir im Rahmen eines EPSRC-Projektes entwickelt. Dabei wird die Frobenius-Asymptotik in positiver Charakteristik durch eine symmetrische Asymptotik der zugehörigen Vektorbündel ersetzt. Dies erfüllt über projektiven Kurven alle gewünschten Eigenschaften, ist aber in höheren Dimensionen noch weitgehend unverstanden. Daran anschließend kann man analog zur $F$-Signatur eine symmetrische Signatur betrachten, die für zweidimensionale $ADE$-Singularitäten die erwarteten Eigenschaften besitzt.

Aufbauend auf Resultaten von Watanabe und Yoshida konnte ich zeigen, dass die Invariantentheorie eine weitere große Beispielklasse darstellt, wo die Hilbert-Kunz Multiplizität eine unmittelbare und charakteristikfreie Interpretation besitzt, und zwar ist sie gleich dem Quotienten aus der Dimension des Koinvariantenrings und der Gruppenordnung.

\zwischenueberschrift{Grothendieck-Topologien und Abschlussoperationen}

Die Grundidee bei diesem umfassenden Forschungsprojekt ist, Abschlussoperationen zu Idealen wie den integralen Abschluss, das Radikal, den straffen Abschluss mit seinen Varianten (para)solid closure und dagger closure, die Torsion oder den stetigen Abschluss mit Hilfe von nicht-flachen \zusatzklammer {bzw. nicht-reinen} {} {} Grothendieck-Topologien zu studieren. Die erzwingenden Algebren ergeben dabei die erlaubten Umgebungen bzw. Überdeckungen, für den integralen Abschluss etwa sind das die \zusatzklammer {Zariski} {} {-}Submersionen \zusatzklammer {diesen Teil arbeite ich zusammen mit Manuel Blickle (Universität Mainz) aus} {} {.}

Der Ideal-Abschluss entspricht dabei der Vergarbung einer Prägarbe in der entsprechenden Topologie. Dieser Zusammenhang erlaubt die Anwendung eines weit entwickelten Apparates und liefert beispielsweise sofort einen Exaktheitsbegriff, neue globale Schnittringe \zusatzklammer {etwa die Seminormalisierung oder den perfekten Abschluss} {} {} und eine Kohomologietheorie, wobei eben auch kohärente Garben auf affinen Schemata nicht-triviale Kohomologie haben können. Die Halme in der straffen Topologie etwa sollen sogenannte big Cohen-Macaulay Algebren sein \zusatzklammer {\anfuehrung{Hochsterisierung}{}} {} {,} so wie in der \'{e}talen Topologie die Henselisierungen als Halme auftreten. Einige der Topologien, die hier in Zusammenhang mit dem integralen Abschluss auftreten, spielen auch in den Arbeiten von Suslin und Voevodsky zur Homologie von Schemata eine wichtige Rolle.

\zwischenueberschrift{Stabilitätseigenschaften von Syzygien-Bündeln}

In diesem Forschungsschwerpunkt untersuche ich Syzygien-Bündel zu Ideal-Erzeugenden auf dem projektiven Raum \zusatzklammer {und die Einschränkung auf projektive Untervarietäten} {} {,} die durch eine kurze exakte Sequenz der Form
\mathdisp {0 \rightarrow \operatorname{Szy}(f_1 , \ldots , f_n) \rightarrow \bigoplus_{i=1}^n {\mathcal O}_{X}(-d_i) \rightarrow {\mathcal O}_X \rightarrow 0} { }
gegeben sind, in Hinblick auf (slope-)Stabilitätseigenschaften. Obwohl einerseits die Stabilität von Vektorbündeln in Zusammenhang mit der Konstruktion von Modulräumen intensiv studiert wurde und andererseits Auflösungen von Idealen und deren Syzygien eine zentrale Rolle in der kommutativen Algebra spielen \zusatzklammer {seit Hilbert} {} {,} sind hier erstaunlich wenig Resultate bekannt.

In diesem Zusammenhang konnte ich für den ${\mathbb P}^n$ ein kombinatorisches Kriterium für die Stabilität des Syzygien-Bündels zu einem monomialen Ideal angeben, das die Stabilität durch eine Distributionseigenschaft von Gitterpunkten ausdrückt. Der Beweis dieses Kriteriums beruht auf Klyachkos Theorie der torischen Bündel, ein zweiter Beweis wurde später von Coanda gegeben. Das Kriterium beantwortet einerseits eine Frage von A. Langer nach der Stabilität des Kerns eines vollständigen linearen Systems zu einem fixierten Grad in positiver Charakteristik \zusatzklammer {in Charakteristik null war dies bekannt} {} {.} Andererseits eröffnete sich durch dieses Kriterium die Möglichkeit, die Existenz von stabilen Bündeln bei fixierten numerischen Daten dadurch nachzuweisen, dass man eine konkrete diskrete Gitterpunkt-Distribution angibt, die das kombinatorische Kriterium erfüllt. Über diesen diskreten Weg konnten Mir\'{o}-Roig, Marcias, Costa einerseits und Coanda andererseits zeigen, dass das generische Syzygienbündel zu konstantem Grad semistabil ist.

Viele Phänome aus der Theorie der Vektorbündel zeigen sich schon für Syzy\-gien-Bündel, es ist für diese aber durch ihre konkrete Darstellung häufig einfacher, gewisse Eigenschaften nachzuweisen. Im Rahmen seiner Dissertation hat A. Kaid einen Algorithmus in CoCoA implementiert, mit dem man die Stabilität eines Syzygienbündels auf einem projektiven Raum überprüfen kann. Mit Hilfe von Syzygienbündeln konnte ich ein Beispiel angeben das zeigt, dass es für stark (semi)stabil keinen Restriktionssatz \`{a} la Bogomolov geben kann.

Syzygienbündel bilden auch eine interessante Beispielklasse unter der Fragestellung, ob sie einer linearen Darstellung der \zusatzklammer {topologischen, \'{e}talen, Noris} {} {} Fundamentalgruppe entsprechen. Mit Kaid konnte ich eine explizite Beispielklasse für stabile Bündel mit einer Frobenius-Periodizität angeben, was einer Darstellung der \'{e}talen Fundamentalgruppe entspricht \zusatzklammer {in Charakteristik $0$ rührt dies nicht von einer solchen Darstellung her} {} {.} Dies liefert ein konkretes nichttriviales Beispiel für die Riemann-Hilbert-Korrespondenz im Sinne von Emerton-Kisin. Ein geplantes und damit verwandtes Projekt soll die Trivialisierbarkeit von Bündeln durch den Frobenius in einer Familie untersuchen, was mit der (Nicht-)Eigentlichkeit von Noris Fundamentalgruppe zusammenhängt.

\zwischenueberschrift{Arithmetische und geometrische Deformationen von Bündeln und von tight closure Problemen}

Die Beziehung zwischen Vektorbündeln und tight closure spiegelt sich auch darin wider, dass es auf beiden Seiten analoge Fragestellungen zum arithmetischen Verhalten gibt, wenn man also die Primcharakteristik variiert. So konnte ich durch ein Beispiel zeigen, dass ein Bündel über einer glatten projektiven Kurve in Charakteristik null semistabil ist, dass aber das Bündel für unendlich viele Primzahlcharakteristiken nicht stark semistabil ist, ja sogar, dass die Dichte der Primzahlen mit stark semistabiler Reduktion beliebig nah an null ist, unter der Bedingung, dass es unendlich viele Sophie Germain Primzahlen gibt. Dies beantwortet ein Problem von Miyaoka und Shepherd-Barron. Eine Weiterentwicklung dieser Beispielklasse führte auch zu einer negativen Antwort \zusatzklammer {gemeinsam mit M. Katzman} {} {} zu einer Frage von Hochster und Huneke über das arithmetische Verhalten von tight closure. Dies liefert zugleich ein Beispiel dafür, dass die kohomologische Dimension von Schemata in einer arithmetischen Deformation zwischen $0$ und $1$ fluktuieren kann.

Verwandt mit diesem Problemkreis ist die Fragestellung, inwiefern ein Bündel einen Frobenius-Abstieg zulässt und wie sich diese Eigenschaft in einer arithmetischen Familie verhält. Hier konnte in einer gemeinsamen Arbeit mit Kaid eine Frage von Joshi negativ beantwortet werden.

Unter geometrischen Deformationen \zusatzklammer {also fixierte Charakteristik, Variation eines Kurvenparameters} {} {} können sich die Invarianten der Vektorbündel in analoger Weise sprunghaft verhalten. In diesem Zusammenhang konnte ich in einer gemeinsamen Arbeit mit Monsky ein Gegenbeispiel zum Lokalisierungsproblem angeben. Mit geometrischen Deformationen beschäftigt sich auch eine Arbeit mit Stäbler, bei der neue Beispielklassen für generisch stark semistabile, aber speziell nicht stark semistabile Bündel etabliert wurden.

\zwischenueberschrift{Der kontinuierliche Abschluss}

Der Ausgangspunkt für diesen Forschungsschwerpunkt war die einfache Fragestellung ist, wann es für gegebene Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_1 , ... ,f_n }
{ \in} { {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_m] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und einem weiteren Polynom $f$ stetige Funktionen \maabbdisp {q_1 , ..., q_n} {{\mathbb C}^m } {{\mathbb C} } {} gibt mit
\mathdisp {f = q_1f_1+ ...+q_nf_n} { . }
Dies führt zum Begriff des \stichwort {stetigen Abschlusses} {} eines Ideals in einer endlich erzeugten komplexen Algebra. Eine notwendige Bedingung dafür ist, dass $f$ zum Radikal \zusatzklammer {und auch zum integralen Abschluss} {} {} des von den $f_i$ erzeugten Ideals liegt. Beispielsweise ist
\mathl{x^2y^2 \in (x^3,y^3)^c}{,} aber
\mathl{xy \not\in (x^2,y^2)^c}{.} Über den Mechanismus mit erzwingenden Algebren und Grothendieck-Topologien erhält man sofort auch einen stetigen Abschluss für Untermoduln.

Ein Leitfrage für den stetigen Abschluss ist hierbei das Problem, ob es eine algebraische Charakterisierung dazu gibt, mit der man unabhängig von dem gewählten Grundkörper ${\mathbb C}$ arbeiten kann. Ein Ansatz dazu ist der sogenannte Axen-Abschluss, mit dem ich weitreichende Kriterien angeben konnte und der im Falle eines primären monomialen Ideales eine vollständige kombinatorische Charakterisierung ermöglichte. Dieser Ansatz wurde von Hochster und Epstein aufgegriffen und führte zu einer entsprechenden Charakterisierung fü primäre Ideale, aber auch zu einem Gegenbeispiel für nicht primäre Ideale. Ein neuartiger Ansatz zur algebraischen Charakterisierung, der mit Aufblasungen arbeitet, wurde kürzlich von J. Kollar gefunden.

\zwischenueberschrift{Eine charakteristik-freie straffe Abschlussoperation}

Die Theorie des straffen Abschlusses kann durch Reduktion zu positiver Charakteristik auch auf Ringe übertragen werden, die einen Körper der Charakteristik null enthalten. Ein Problem besteht darin, eine charakteristik-freie Definition zu entwickeln, die auch in gemischter Charakteristik \zusatzklammer {im arithmetischen Fall} {} {} eine solche Theorie liefert. Dies würde eine lange Reihe von homologischen Vermutungen erledigen. In diesem Kontext habe ich eine Abschlussoperation vorgeschlagen, den so genannten \stichwort {parasoliden Abschluss} {,} die auf Reduktion zu positiver Charakteristik verzichtet. Im gleichcharakteristischen Fall besitzt diese Operation alle gewünschten Eigenschaften, insbesondere sind für diese Operation \zusatzgs {im Gegensatz zum solid closure von Hochster} {} alle Ideale in einem regulären Ring abgeschlossen. In gemischter Charakteristik sind aber noch viele Fragen offen.

Über den komplexen Zahlen ist es eine wichtige Frage, ob und wie man den Abschluss komplex-analytisch erfassen kann, mit der Perspektive, die Analogie zwischen Frobenius-Methoden in positiver Charakteristik und $L^2$-Methoden in komplexer Analysis weiter zu klären. Bisher ist diese Analogie nur insofern verstanden, dass das \stichwort {Testideal} {} des straffen Abschlusses mit dem Multiplier-Ideal übereinstimmt, während für den Abschluss selbst noch keine Entsprechung gefunden wurde. Hier gibt es einige Ansätze, über kohomologische Eigenschaften der Singularitätenauflösung eine Abschlussoperation einzuführen bzw. sogar eine \anfuehrung{tight topology}{} \zusatzklammer {eine Grothendieck-Topologie, die tight closure induziert} {} {} einzuführen.

\zwischenueberschrift{Algebraische Lefschetz-Eigenschaften}

Bei der schwachen \stichwort {Lefschetz-Eigenschaft} {} einer graduierten artinschen $K$-Algebra geht es darum, ob die Multiplikation mit einer generischen Linearform maximalen Rang besitzt. Das Interesse an dieser Eigenschaft beruht auf den Zusammenhang zur \stichwort {Fröberg-Vermutung} {.} In einer gemeinsamen Arbeit mit Kaid wurde eine geometrische Interpretation \zusatzklammer {auf dem ${\mathbb P}^2$} {} {} für diese Eigenschaft gefunden, die mit dem generischen Spaltungstyp der Einschränkung von Syzygienbündel arbeitet. Mit dieser Interpretation ergeben sich einerseits durch den Satz von Grauert-Mülich-Spindler direkt positive Resultate, andererseits konnten wir ein monomiales Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Migliore, Mir\'{o}-Roig, Nagel geben. Ferner konnten wir in einer weiteren Arbeit eine Vermutung von Li und Zanello bestätigen. Eine wichtige offene Frage betrifft die Lefschetz-Eigenschaft von Gorenstein-Algebren in Kodimension $3$.

\zwischenueberschrift{Kombinatorische kommutative Algebra - Binoide}

Die kombinatorische kommutative Algebra beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen kombinatorischen Strukturen wie Graphen, Polytopen, polyedrischen Kegeln, simplizialen Komplexen und zugehörigen kommutativen Ringen. Zu einem Monoid, das typischerweise als Durchschnitt eines Kegels und einem Gitter gegeben ist, gehört der Monoidring, die selbst die algebraischen Bausteine der torischen Geometrie sind, und zu einem simplizialen Komplex gehören die Stanley-Reisner-Ringe. Diese Beziehung ermöglicht einerseits, mit Methoden der kommutativen Algebra kombinatorische Objekte zu verstehen, andererseits, ringtheoretische Vermutungen an speziellen Ringen mit diskreten Methoden zu überprüfen. Eine einheitliches Konzept, das diese beiden Beziehungen umfasst, wird durch den Binoidbegriff bereitgestellt, den ich mit drei Doktoranden im Rahmen des Graduiertenkollegs \anfuehrung{Kombinatorische Strukturen in der Geometrie}{} entwickle.

Ein Binoid ist ein Monoid, das zusätzlich ein absorbierendes Element enthält, welches auf der Ringseite als $0$ zu interpretieren ist. Dies ermöglicht, Nullteilerbeziehungen auf Binoidebene zu formulieren. Ein simplizialer Komplex liefert in naheliegender Weise ein simpliziales Binoid, dessen Binoidring der Stanley-Reisner Ring ist. Die Vorteile des Binoidskonzepts liegen neben dieser Vereinheitlichung in den folgenden Punkten: Die Restklassenbildung lässt sich problemlos durchführen. Dies ermöglicht die Definition der Hilbert-Funktion und der Hilbert-Kunz-Funktion auf kombinatorischer Ebene. Das Studium von nichtreduzierten, infinitesimalen kombinatorischen Objekten wird möglich. Das Spektrum und die $K$-Spektra der zugehörigen Algebren lassen sich kombinatorisch beschreiben. Dabei kann man in der Binoidsprache wichtige Faktorisierungsfragen (Komponenten, Zusammenhang) beantworten, was einerseits die topologische Struktur der Spektren klärt und andererseits eine Anzahlformel über endlichen Körpern liefert. Die geometrisch-kombinatorischen Punkte hängen nur von der Booleanisierung ab und lassen sich durch ein rein kombinatorisches Spektrum erfassen. Eine Vielzahl von Konstruktionen \zusatzklammer {Moduln, Tensorprodukt, Symmetrische Potenzen, Lokalisierung, Graduierung} {} {} lassen sich für Binoide einführen und vereinheitlichen verschiedene frühere Ansätze.

Neben den wichtigen Grundlagenfragen, die inzwischen weitgehend geklärt sind, geht es in spezielleren Teilprojekten um den Rationalitätsbeweis für die kombinatorische Hilbert-Kunz-Multiplizität, das Beschreiben der invertierbaren Objekte \zusatzklammer {Picard-Gruppe, Divisorenklassengruppe} {} {} und die Beziehung zur $F_1$-Theorie.