Benutzer:Pmidden

Aufgabe 7.3

Sei $T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist $|p^{-s}|<1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich

$\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$	$=$ Hier wurde einfach das Produkt aufgelöst.	${\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}$
	$=$ Jeder Faktor des Produkts stellt den Grenzwert einer geometrischen Reihe dar, der hier eingesetzt wird.	$\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)$
	$=$ Man fasst die Einzelsummen mittels des Distributivgesetzes (hier im unendlichen Fall) zusammen	$\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}$
	$=$ Man wendet die Potenzgesetze an und „klammert“ $-s$ aus	$\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}$
	$=$ Den entstandenen Primfaktorzerlegungen entsprechen natürliche Zahlen $n$ aus $M(T)$	$\sum _{n\in M(T)}n^{-s}$ .