Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition

$\beta$-Funktion

Unter der $\beta$-Funktion versteht man die Abbildung

${\mathbb{N}}^3⟶\mathbb{N},(p,n,i)⟼\beta (p,n,i),$

die folgendermaßen festgelegt ist. $\beta (p,n,i)$ ist die kleinste Zahl  $a\in \mathbb{N}$,  die die Bedingung erfüllt, dass es natürliche Zahlen $b_0,b_1,b_2$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

1.  $n=b_0+b_1((i+1)+ap+b_2{p}^2)$. 
2.  $a<p$. 
3.  $b_0<b_1$. 
4. $b_1$ ist eine Quadratzahl.
5. Alle Teiler  $d\ne 1$  von $b_1$ sind ein Vielfaches von $p$.

Wenn kein solches $a$ existiert, so ist  $\beta (p,n,i)=0$.