Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt

Definition

Ein Geradenbündel ${}L$ auf einer Varietät ${}U$ (über einem Körper ${}K$) ist eine Varietät ${}L$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon L\rightarrow U$ und einer offenen affinen Überdeckung

${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

derart, dass es Isomorphismen

$\varphi _{i}\colon L{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

über ${}U_{i}$ derart gibt, dass zu ${}i,j$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

linear sind, also auf der Ringebene durch ${}T\mapsto rT$ mit ${}r\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}})^{\times }$ gegeben sind.

Es sei

${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

eine Varietät mit einer offenen Überdeckung und

${}c=c_{ij}\,$

mit ${}c_{ij}\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}^{\times })$ ein Čech-Kozykel zur Garbe der Einheiten. Jedes ${}c_{ij}$ definiert eine Verklebungsabbildung

$\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(P,t)\longmapsto (P,c_{ij}(P)t).$

Im quasiaffinen Fall mit ${}U_{i}=D(f_{i})$ geht es um die Ringautomorphismen

$R_{f_{i}f_{j}}[T]\longrightarrow R_{f_{i}f_{j}}[T],\,T\longmapsto c_{ij}T.$

Dabei wird ${}rT^{k}$ auf ${}rc_{ij}^{k}T^{k}$ abgebildet.