Geradenbündel/Varietät/Affine Überdeckung/Definition

Geradenbündel

Ein Geradenbündel ${}L$ auf einer Varietät ${}U$ (über einem Körper ${}K$) ist eine Varietät ${}L$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon L\rightarrow U$ und einer offenen affinen Überdeckung

${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

derart, dass es Isomorphismen

$\varphi _{i}\colon L{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

über ${}U_{i}$ derart gibt, dass zu ${}i,j$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

linear sind, also auf der Ringebene durch ${}T\mapsto rT$ mit ${}r\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}})^{\times }$ gegeben sind.