Beringter Raum/Modul/Garbenkohomologie/Modulstruktur/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ definiert einen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus

$f\colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {M}},$

wobei auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Restriktion von ${}f$ auf ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ durch Multiplikation als Skalar wirkt, also

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)},\,s\longmapsto fs.$

Die Multiplikation mit ${}f$ ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Aufgrund der Funktorialität (siehe Fakt) der Garbenkohomologie induziert dies einen Gruppenhomomorphismus

$H^{n}(f)\colon H^{n}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {M}}).$

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\times H^{n}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {M}}),\,(f,c)\longmapsto H^{n}(f)(c),$

eine Modulstruktur auf ${}H^{n}(X,{\mathcal {M}})$ festlegt. Da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, ist die Additivität im Modul gesichert. Wegen der Funktorialität geht die ${}1$ auf die Identität (zuerst als Garbenhomomorphismus und dann in der Kohomologie) und wegen der Verträglichkeit mit der Verknüpfung ist

${}H^{n}(fg)=H^{n}(f)\circ H^{n}(g)\,.$

Für globale Ringelemente ${}f,g$ ist die Skalarmultiplikation (auf der Ebene der Modulgarben) mit ${}f+g$ gleich der Summe der Skalarmultiplikationen zu ${}f$ und zu ${}g$. Da die ${}H^{n}$ additive Funktoren sind, gilt daher auch

${}H^{n}(f+g)=H^{n}(f)+H^{n}(g)\,.$

Zur bewiesenen Aussage