Beringter Raum/Modul/Garbenkohomologie/Modulstruktur/Fakt/Beweis

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Beweis

Jedes Element definiert einen -Modulhomomorphismus

wobei auf jeder offenen Menge die Restriktion von auf durch Multiplikation als Skalar wirkt, also

Die Multiplikation mit ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Aufgrund der Funktorialität (siehe Fakt) der Garbenkohomologie induziert dies einen Gruppenhomomorphismus

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

eine Modulstruktur auf festlegt. Da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, ist die Additivität im Modul gesichert. Wegen der Funktorialität geht die auf die Identität (zuerst als Garbenhomomorphismus und dann in der Kohomologie) und wegen der Verträglichkeit mit der Verknüpfung ist

Für globale Ringelemente ist die Skalarmultiplikation (auf der Ebene der Modulgarben) mit gleich der Summe der Skalarmultiplikationen zu und zu . Da die additive Funktoren sind, gilt daher auch

Zur bewiesenen Aussage