Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.

1. Die ${}H^{n}(X,-)$ sind (für jedes ${}n\in \mathbb {N}$) additive Funktoren von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.
2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus ${}H^{0}(X,{\mathcal {G}})\cong \Gamma (X,{\mathcal {G}})$ vor.
3. Zu einer kurzen exakten Garbensequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz

   $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {H}})\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow \ldots .$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen