Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Garbe/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt die Beziehung

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\subseteq \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,$

vor, und rechts steht nach Fakt eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe), sodass links eine Untergarbe steht. Die ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Struktur auf ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.

Zur bewiesenen Aussage