Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Lokaler Homomorphietest/Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$ . Es sei

\varphi \colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {N}}

ein Garbenmorphismus und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

Wenn die Abbildungen
$\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

für alle ${}i$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

$\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$
Wenn die
$\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

für alle ${}i$ mit den ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ -Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

$\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$
Wenn die
$\varphi {|}_{U_{i}}\colon {\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U_{i}}$

${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ -Modulhomomorphismen für alle ${}i$ sind, so gilt dies auch für ${}\varphi$ .