Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Beweis

Beweis

Da jedes $x_{i}$ nur den Wert $0$ oder $1$ haben kann, gilt $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = k$ genau dann, wenn in

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

genau $k$ -fach eine $1$ (und $n - k$ -fach eine $0$ steht). Diese Tupel entsprechen den $k$ -elementigen Teilmengen von ${1, \dots, n}$ , davon gibt es nach Fakt $(\binom{n}{k})$ Stück. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches einzelnes Tupel von diesem Typ ist nach der Definition der Produktwahrscheinlichkeit gleich $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von $E_{k}$ gleich

(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

Zur bewiesenen Aussage