Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Beweis

Beweis

Da jedes ${}x_{i}$ nur den Wert ${}0$ oder ${}1$ haben kann, gilt ${}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=k$ genau dann, wenn in

${}x=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,$

genau ${}k$-fach eine ${}1$ (und $n-k$-fach eine ${}0$ steht). Diese Tupel entsprechen den ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$, davon gibt es nach Fakt ${}{\binom {n}{k}}$ Stück. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches einzelnes Tupel von diesem Typ ist nach der Definition der Produktwahrscheinlichkeit gleich ${}p^{k}(1-p)^{n-k}$. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von ${}E_{k}$ gleich

${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

Zur bewiesenen Aussage