Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt

Es sei  ${}M=\{0,1\}$  mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit ${}p$ versehen und es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Es sei

${}N=M^{n}\,$

das ${}n$-fache Produkt von ${}M$ mit sich selbst.

Dann besitzt zu  ${}k\in \{0,1,\ldots ,n\}$  das Ereignis

${}E_{k}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in M^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}x_{i}=k\right\}\,$

die Wahrscheinlichkeit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen