Bernoullische Differentialgleichung/y' ist y durch t mal y^2/Aufgabe/Lösung

1. Mit

   ${}z=y^{-1}\,$

   ist

   ${}{\begin{aligned}z'&={\left(y^{-1}\right)}'\\&=-y^{-2}\cdot y'\\&=-y^{-2}\cdot ({\frac {1}{t}}y+y^{2})\\&=-{\frac {1}{t}}y^{-1}-1\\&=-{\frac {1}{t}}z-1,\end{aligned}}$

   diese ist linear.

2. Eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist ${}t^{-1}$. Die Stammfunktionen von ${}-t$ sind ${}-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind

   ${}z(t)={\left(-{\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}t^{-1}=-{\frac {1}{2}}t+ct^{-1}\,$

   die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für ${}z$.

3. Daraus ergeben sich für ${}y$ die Lösungen

   ${}y(t)=z(t)^{-1}={\frac {1}{-{\frac {1}{2}}t+ct^{-1}}}={\frac {2t}{-t^{2}+2c}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe