Bernoullische Ungleichung/Exponent ist 2,3,4/Alle x/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\geq 1+2x\,,$

   da Quadrate positiv sind.

2. Es sei ${}x=-4$. Dann ist einerseits

   ${}(1+x)^{3}=(1-4)^{3}=(-3)^{3}=-27\,$

   und andererseits

   ${}1+3x=1+3(-4)=-11\,,$

   was größer ist.

3. Es ist nach dem binomischen Lehrsatz

   ${}(1+x)^{4}=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\,,$

   und es ist zu zeigen, dass dies ${}\geq 1+4x$ ist. Dies ist äquivalent zur Abschätzung

   ${}6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\geq 0\,.$

   Wir können den Faktor

   ${}x^{2}\geq 0\,$

   vorziehen und daher ist dies äquivalent zu

   ${}6+4x+x^{2}\geq 0\,.$

   Wegen

   ${}x^{2}+4x+6=(x+2)^{2}-4+6=(x+2)^{2}+2\geq 0\,$

   ist dies erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe