Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

$M=\{f:T\to E\mid \Vert f{\Vert }_T<\mathrm{\infty }\}$

die Menge der beschränkten Abbildungen von $T$ nach $E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. $\Vert f\Vert \ge 0$ für alle $f\in M$.
2. $\Vert f\Vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
3. Für $\lambda \in ℝ$ und $f\in M$ gilt

   $\Vert \lambda f\Vert =|\lambda |\cdot \Vert f\Vert .$

4. Für $g,f\in M$ gilt

   $\Vert g+f\Vert \le \Vert g\Vert +\Vert f\Vert .$

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