Beschränktes Intervall/Stetige Funktion/Äquidistantes Unterintegral/Unterintegral/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass jedes Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion bis auf jeden vorgegebenen Fehler  ${}\epsilon >0$  durch das Treppenintegral zu einer äquidistanten unteren Treppenfunktion angenähert werden kann, woraus die Aussagen folgen. Es seien  ${}a<b$  die Intervallgrenzen und sei

${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,$

eine Unterteilung des Intervalls mit einer unteren Treppenfunktion ${}t$ mit den Werten ${}t_{i}$ auf dem Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$. Es sei ${}c$ der maximale Wert von ${}t$ und es sei ${}d$ eine untere Schranke von ${}f$ und von ${}t$. Es sei ${}m$ so gewählt, dass

${}{\frac {n(b-a)(c-d)}{m}}\leq \epsilon \,$

ist. Wir betrachten die äquidistante Unterteilung von ${}I$ mit ${}m$ Teilintervallen ${}I_{j}$, ${}j=1,\ldots ,m$, und wir betrachten darauf die Treppenfunktion ${}s$, die folgendermaßen definiert ist.

${}s{|}_{I_{j}}=s_{j}={\begin{cases}d,{\text{ falls es ein }}a_{i}\in I_{j}{\text{ gibt}},\\t_{i},{\text{ falls }}I_{j}\subseteq ]a_{i-1},a_{i}[{\text{ für ein }}i\,.\end{cases}}\,$

Damit ist  ${}s\leq t$  und ${}s$ stimmt in jedem Punkt ${}x$ mit ${}t$ überein oder hat den Wert ${}d$, letzteres kommt aber nur auf höchstens ${}n$ äquidistanten Teilintervallen vor. Daher gilt für die Differenz der beiden Treppenintegrale die Beziehung

${}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i-1})t_{i}-{\frac {b-a}{m}}\sum _{j=1}^{m}s_{j}\leq n{\frac {b-a}{m}}(c-d)\leq \epsilon \,,$

wie gefordert.

Zur gelösten Aufgabe