Beschränktes Intervall/Stetige Funktion/Äquidistantes Unterintegral/Unterintegral/Aufgabe/Lösung

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Wir zeigen, dass jedes Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion bis auf jeden vorgegebenen Fehler durch das Treppenintegral zu einer äquidistanten unteren Treppenfunktion angenähert werden kann, woraus die Aussagen folgen. Es seien die Intervallgrenzen und sei

eine Unterteilung des Intervalls mit einer unteren Treppenfunktion mit den Werten auf dem Teilintervall . Es sei der maximale Wert von und es sei eine untere Schranke von und von . Es sei so gewählt, dass

ist. Wir betrachten die äquidistante Unterteilung von mit Teilintervallen , , und wir betrachten darauf die Treppenfunktion , die folgendermaßen definiert ist.

Damit ist und stimmt in jedem Punkt mit überein oder hat den Wert , letzteres kommt aber nur auf höchstens äquidistanten Teilintervallen vor. Daher gilt für die Differenz der beiden Treppenintegrale die Beziehung

wie gefordert.
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