Bewertungstheorie/Körper mit diskreter Bewertung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe/Lösung

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Zuerst zeigen wir, dass ein Unterring des Körpers ist. Es ist . Da ein Gruppenhomomorphismus ist, muss sein. Für zwei Elemente ist und damit , da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso

nach Voraussetzung, so dass multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist , woraus aber und somit folgt. Also gehören auch die Negativen zu , und somit liegt ein kommutativer Ring vor.

Weiterhin muss ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass

das einzige maximale Ideal ist. Die gehört dazu und wegen ist die Menge additiv abgeschlossen. Für und ist und und daher , so dass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.

Das Komplement besteht aus allen Elementen mit. Dann ist aber auch und damit , d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist maximal.

Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Sei hierzu ein Element mit , was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass prim ist. Es gilt generell, dass ein Vielfaches von () ist genau dann, wenn ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu äquivalent ist. Aus mit , folgt nun und dann muss oder sein, so dass eines ein Vielfaches von ist. Also ist prim.

Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element mit assoziiert zu ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen und , ,

vor.
Zur gelösten Aufgabe