Zuerst zeigen wir, dass
ein Unterring des Körpers
ist. Es ist
.
Da
ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
sein. Für Elemente
ist
und damit
,
da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso
-

nach Voraussetzung, sodass
multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist
,
woraus aber
und somit
folgt. Also gehören auch die Negativen zu
, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.
Weiterhin muss
ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass
-

das einzige maximale Ideal ist. Die
gehört dazu und wegen
ist die Menge additiv abgeschlossen. Für
und
ist
und
und daher
,
sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.
Das Komplement
besteht aus allen Elementen
mit
.
Dann ist aber auch
und damit
,
d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist
maximal.
Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu
ein Element mit
,
was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass
prim ist. Es gilt generell, dass
ein Vielfaches von
(
)
ist genau dann, wenn
ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu
äquivalent ist. Aus
mit
,
folgt nun
und dann muss
oder
sein, sodass eines ein Vielfaches von
ist. Also ist
prim.
Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element
mit
assoziiert zu
ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen
und
,
,
vor.