Bewertungstheorie/Körper mit diskreter Bewertung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe/Lösung

Zuerst zeigen wir, dass ${}R$ ein Unterring des Körpers ${}K$ ist. Es ist  ${}0\in R$.  Da ${}\nu$ ein Gruppenhomomorphismus ist, muss  ${}\nu (1)=0$  sein. Für Elemente  ${}f,g\in R$  ist  ${}\nu (f),\nu (g)\geq 0$  und damit  ${}\nu (f\cdot g)=\nu (f)+\nu (g)\geq 0$,  da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso

${}\nu (f+g)\geq \operatorname {min} \left(\nu (f),\,\nu (g)\right)\geq 0\,$

nach Voraussetzung, sodass ${}R$ multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist  ${}\nu (-1)+\nu (-1)=\nu ((-1)^{2})=\nu (1)=0$,  woraus aber  ${}\nu (-1)=0$  und somit  ${}-1\in R$  folgt. Also gehören auch die Negativen zu ${}R$, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.

Weiterhin muss ${}R$ ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass

${}{\mathfrak {m}}:={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 1\right\}}\cup \{0\}\subseteq R\,$

das einzige maximale Ideal ist. Die ${}0$ gehört dazu und wegen  ${}\nu (f+g)\geq \operatorname {min} \left(\nu (f),\,\nu (g)\right)\geq 1$  ist die Menge additiv abgeschlossen. Für  ${}f\in {\mathfrak {m}}$  und  ${}g\in R$  ist  ${}\nu (f)\geq 1$  und  ${}\nu (g)\geq 0$  und daher  ${}\nu (gf)=\nu (g)+\nu (f)\geq 1$,  sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.

Das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {m}}$ besteht aus allen Elementen  ${}h\in K$  mit  ${}\nu (h)=0$.  Dann ist aber auch  ${}\nu (h^{-1})=0$  und damit  ${}h^{-1}\in R$,  d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist ${}{\mathfrak {m}}$ maximal.

Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu  ${}p\in K$  ein Element mit  ${}\nu (p)=1$,  was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass ${}p$ prim ist. Es gilt generell, dass ${}y$ ein Vielfaches von ${}x$ (${}x,y\in R$) ist genau dann, wenn  ${}\nu (y)\geq \nu (x)$  ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu  ${}y/x\in R$  äquivalent ist. Aus ${}p{|}xy$ mit  ${}x,y\in R$,  folgt nun  ${}1=\nu (p)\leq \nu (xy)=\nu (x)+\nu (y)$  und dann muss  ${}\nu (x)\geq 1$  oder  ${}\nu (y)\geq 1$  sein, sodass eines ein Vielfaches von ${}p$ ist. Also ist ${}p$ prim.

Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element  ${}x\in R$  mit  ${}n=\nu (x)$  assoziiert zu ${}p^{n}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen ${}0$ und ${}(p^{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$,

vor.

Zur gelösten Aufgabe