Zuerst zeigen wir, dass ein Unterring des Körpers ist. Es ist
.
Da ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
sein. Für Elemente
ist
und damit
,
da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso
-
nach Voraussetzung, sodass multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist
,
woraus aber
und somit
folgt. Also gehören auch die Negativen zu , und somit liegt ein kommutativer Ring vor.
Weiterhin muss ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass
-
das einzige maximale Ideal ist. Die gehört dazu und wegen
ist die Menge additiv abgeschlossen. Für
und
ist
und
und daher
,
sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.
Das Komplement besteht aus allen Elementen
mit
.
Dann ist aber auch
und damit
,
d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist maximal.
Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu
ein Element mit
,
was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass prim ist. Es gilt generell, dass ein Vielfaches von
()
ist genau dann, wenn
ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu
äquivalent ist. Aus mit
,
folgt nun
und dann muss
oder
sein, sodass eines ein Vielfaches von ist. Also ist prim.
Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element
mit
assoziiert zu ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen und
, ,
vor.