Bildmaß/Unter Produktabbildung/Aufgabe

Es seien $(M_1,{𝒜}_1,{\mu }_1)$ und $(M_2,{𝒜}_2,{\mu }_2)$ zwei $\sigma$-endliche Maßräume, es seien $(N_1,{ℬ}_1)$ und $(N_2,{ℬ}_2)$ zwei Messräume und es seien

${\phi }_1:M_1⟶N_1$

und

${\phi }_2:M_2⟶N_2$

zwei messbare Abbildungen, unter denen die Bildmaße $({\phi }_1{)}_{\ast }{\mu }_1$ und $({\phi }_2{)}_{\ast }{\mu }_2$ $\sigma$-endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der Produktabbildung  $\phi ={\phi }_1\times {\phi }_2$  die Gleichung

${\phi }_{\ast }({\mu }_1\otimes {\mu }_2)=(({\phi }_1{)}_{\ast }{\mu }_1)\otimes (({\phi }_2{)}_{\ast }{\mu }_2)$

gilt.

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