Bilinearform/Basis/Dualbasis/Gramsche Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M=(c_{ij})_{ij}\,$

die beschreibende Matrix von ${}\Psi$ bezüglich der gegebenen Basen. In der ${}j$-ten Spalte stehen die Koordinaten von ${}\Psi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, also ist

${}\Psi (v_{j})=\sum _{k=1}^{n}c_{kj}v_{k}^{*}\,.$

Wenn wir diese Gleichung auf ${}c_{i}$ anwenden, erhalten wir

${}\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle =(\Psi (v_{j}))(v_{i})={\left(\sum _{k=1}^{n}c_{kj}v_{k}^{*}\right)}(v_{i})=c_{ij}\,.$

Daher ist ${}c_{ij}$ gleich dem Eintrag ${}G_{ji}$ der Gramschen Matrix und damit gleich dem entsprechenden Eintrag der transponierten Gramschen Matrix.

Zur gelösten Aufgabe