Bilinearform/Basis/Dualbasis/Gramsche Matrix/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}G$ die Gramsche Matrix bezüglich dieser Basis. Es sei

$\Psi \colon V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$

die zugehörige lineare Abbildung in den Dualraum ${}{V}^{*}$ und es sei ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ die Dualbasis von ${}{V}^{*}$. Zeige, dass die beschreibende Matrix von ${}\Psi$ bezüglich der beiden Basen die transponierte Matrix

von ${}G$ ist.

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