Billard/Periodische Verläufe/Skizze/2/Aufgabe/Lösung

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Das Quadrat sei achsenparallel ausgerichtet. Die Bewegung hat stets eine Geschwindigkeit in ${}x$ -Richtung und eine in ${}y$ -Richtung. Bei einem Abprall in einem Punkt einer Seite ändert sich genau eine dieser Geschwindigkeiten ins Negative, die andere bleibt gleich. Es wird also aus dem Richtungsvektor ${}\left(u,\,v\right)$ der Richtungsvektor ${}\left(-u,\,v\right)$ (bei Aufprall links oder rechts) oder der Richtungsvektor ${}\left(u,\,-v\right)$ (bei Aufprall oben oder unten). Deshalb gibt es überhaupt nur die vier Bewegungsrichtungen ${}\left(\pm u,\,\pm v\right)$ . Da ferner ${}\left(u,\,v\right)$ ${}-\left(u,\,v\right)$ und ${}\left(-u,\,v\right)$ ${}\left(u,\,-v\right)=-\left(-u,\,v\right)$ die gleiche Gerade definieren, tauchen (höchstens) zwei nichtparallele Richtungen auf.
Wegen des in (3) beschriebenen Verhaltens bei einem Abprall gilt, dass wenn die Bewegung von der linken Seite startet und erstmalig die linke Seite wieder erreicht wird, dass dann dazwischen die rechte Seite genau einmal getroffen wurde. Dies bedeutet, dass die rechte Seite so oft getroffen wird wie die linke Seite. Da ferner, ebenfalls wegen (3), in einem Randpunkt nur zwei Bewegungsstränge anliegen, muss es auch auf der linken Seite genauso viele beteiligte Randpunkte gegeben wie auf der rechten Seite. Dies gilt auch für oben und unten, also ist die Gesamtzahl gerade.