Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt und Techniken, die auch im Beweis zur Formel von Molien verwendet werden. Es sei dazu ${}\sigma \in BI$, das bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix ${}{\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{pmatrix}}$ beschrieben wird, wobei ${}\xi$ eine Einheitswurzel

ist. Die Wirkungsweise dieses Elementes auf der ${}d$-ten Stufe ${}{\mathbb {C} }[W,Z]_{d}$ ist durch

$W^{i}Z^{d-i}\mapsto \xi ^{i}\xi ^{i-d}W^{i}Z^{d-i}=\xi ^{2i-d}W^{i}Z^{d-i}$

gegeben

(${}W,Z$ seien die Linearformen zur gewählten Basis). Daher ist die Spur von ${}\sigma ^{(d)}$ durch

${}\sum _{i=0}^{d}\xi ^{2i-d}=\xi ^{-d}\sum _{i=0}^{d}{\left(\xi ^{2}\right)}^{i}\,$

gegeben. Es sei nun ${}d=60$. Da die Ordnung von ${}\sigma$ nach Aufgabe ein Teiler von ${}60$ ist, sind die ${}\xi ,\xi ^{-1},\xi ^{2}$ sechzigste Einheitswurzeln. Bei ${}\sigma =\pm E_{2}$ ist diese Summe jeweils ${}61$. Bei jedem anderen Gruppenelement ist nach Fakt ${}\xi ^{2}\neq 1$ und daher durchlaufen die Summanden von ${}i=0$ bis ${}i=59$ mehrfach sämtliche Potenzen von ${}\xi ^{2}$, sodass diese Summe ${}0$ ist und lediglich der Summand ${}{\left(\xi ^{2}\right)}^{60}=1$ übrigbleibt. Die Summe der Spuren zu allen ${}\sigma ^{(60)}$, ${}\sigma \in BI$, ist somit ${}61+61+118=240$. Nach Fakt ist also ${}\dim _{\mathbb {C} }{\left({\mathbb {C} }[U,V]_{60}^{BI}\right)}=2$.

Zur bewiesenen Aussage