Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt und Techniken, die auch im Beweis zur Formel von Molien verwendet werden. Es sei dazu  ${}\sigma \in BI$,  das bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix ${}{\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{pmatrix}}$ beschrieben wird, wobei ${}\xi$ eine Einheitswurzel

ist. Die Wirkungsweise dieses Elementes auf der ${}d$-ten Stufe ${}{\mathbb {C} }[W,Z]_{d}$ ist durch

$W^{i}Z^{d-i}\mapsto \xi ^{i}\xi ^{i-d}W^{i}Z^{d-i}=\xi ^{2i-d}W^{i}Z^{d-i}$

gegeben

(${}W,Z$ seien die Linearformen zur gewählten Basis). Daher ist die Spur von ${}\sigma ^{(d)}$ durch

${}\sum _{i=0}^{d}\xi ^{2i-d}=\xi ^{-d}\sum _{i=0}^{d}{\left(\xi ^{2}\right)}^{i}\,$

gegeben. Es sei nun  ${}d=60$.  Da die Ordnung von ${}\sigma$ nach Aufgabe ein Teiler von ${}60$ ist, sind die ${}\xi ,\xi ^{-1},\xi ^{2}$ sechzigste Einheitswurzeln. Bei  ${}\sigma =\pm E_{2}$  ist diese Summe jeweils ${}61$. Bei jedem anderen Gruppenelement ist nach Fakt  ${}\xi ^{2}\neq 1$  und daher durchlaufen die Summanden von  ${}i=0$  bis  ${}i=59$  mehrfach sämtliche Potenzen von ${}\xi ^{2}$, sodass diese Summe ${}0$ ist und lediglich der Summand  ${}{\left(\xi ^{2}\right)}^{60}=1$  übrigbleibt. Die Summe der Spuren zu allen ${}\sigma ^{(60)}$, ${}\sigma \in BI$, ist somit  ${}61+61+118=240$.  Nach Fakt ist also  ${}\dim _{\mathbb {C} }{\left({\mathbb {C} }[U,V]_{60}^{BI}\right)}=2$. 

Zur bewiesenen Aussage