Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt

Es sei ${}\beta \in \mathbb {R}$, ${}0<\beta <{\frac {1}{2}}$, fixiert und ${}n\in \mathbb {N}$ gerade. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}{\frac {\binom {n}{n/2}}{2^{n}}}\rightarrow 0$ für ${}n\rightarrow \infty$.
2. Es ist

   ${}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\leq {\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\,.$

3. Es ist

   $\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{\binom {n}{k}}\leq {\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}\cdot {\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\,.$

4. Für ${}n\rightarrow \infty$ konvergiert der Ausdruck

   ${\frac {1}{2^{n}}}{\left(\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{\binom {n}{k}}\right)}$

   gegen ${}0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen