Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt/Beweis

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Nach Aufgabe ist

   $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=\frac{n-k}{k+1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$

   Somit besteht zwischen $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{1}{2}n})$ und $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })$ der Zusammenhang

   $\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})& =\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{n}{2}}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-1})\\ & =\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{n}{2}}\cdot \frac{\frac{n}{2}+2}{\frac{n}{2}-1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-2})\\ & =\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{n}{2}}\cdot \frac{\frac{n}{2}+2}{\frac{n}{2}-1}\cdots \frac{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }).\end{array}$

   Dies bedeutet umgekehrt

   $\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })& =\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+1}\cdot \frac{\frac{n}{2}-1}{\frac{n}{2}+2}\cdots \frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})\\ & =\frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }{\frac{n}{2}+1}\cdot \frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor +1}{\frac{n}{2}+2}\cdots \frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}}).\end{array}$

   Die Faktoren sind alle von der Form

   $\frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor -1+i}{\frac{n}{2}+i}$

   mit  $i=1,\dots ,\lfloor \beta n\rfloor +1$.  Sie sind alle $<1$ und für das maximale $i$, also für $\lfloor \beta n\rfloor +1$, am größten. Da es $\lfloor \beta n\rfloor +1$ viele Faktoren gibt, kann man das Produkt unter Verwendung von Fakt  (1), Fakt  (6) und Fakt  (8) durch

   $\begin{array}{cc}{\left(\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}\right)}^{\lfloor \beta n\rfloor +1}& \le {\left(\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\beta n}\right)}^{\lfloor \beta n\rfloor +1}\\ & \le {\left(\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\beta n}\right)}^{\beta n}\\ & ={\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\beta }\right)}^{\beta n}\\ & ={\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n\end{array}$

   nach oben abschätzen. Also ist

   $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })\le {\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}}).$

3. Dies folgt aus (2), da die Binomialkoeffizienten in diesem Bereich wachsend sind und da es $(\frac{n}{2}+1-\lfloor \beta n\rfloor )$ Summanden gibt.
4. Nach (1) konvergiert $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2})}{2^n}$ gegen $0$. Nach (3) genügt es daher, zu zeigen, dass

   $(\frac{n}{2}+1-\lfloor \beta n\rfloor ){\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n$

   gegen $0$ konvergiert. Dieser Ausdruck ist aber (beschränkt durch) von der Form

   $n\cdot {\gamma }^n$

   mit  $\gamma <1$,  also nach Fakt konvergent gegen $0$.

Zur bewiesenen Aussage