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# Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt/Beweis

Beweis
1. Siehe Aufgabe.
2. Nach Aufgabe ist
${\displaystyle {}{\binom {n}{k+1}}={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\binom {n}{k}}\,.}$

Somit besteht zwischen ${\displaystyle {}{\binom {n}{{\frac {1}{2}}n}}}$ und ${\displaystyle {}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}}$ der Zusammenhang

{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-1}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}+2}{{\frac {n}{2}}-1}}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-2}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}+2}{{\frac {n}{2}}-1}}\cdots {\frac {{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}.\end{aligned}}}

Dies bedeutet umgekehrt

{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}&={\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+1}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}-1}{{\frac {n}{2}}+2}}\cdots {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{{\frac {n}{2}}+1}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}{{\frac {n}{2}}+2}}\cdots {\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}.\end{aligned}}}

Die Faktoren sind alle von der Form

${\displaystyle {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor -1+i}{{\frac {n}{2}}+i}}}$

mit ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}$. Sie sind alle ${\displaystyle {}<1}$ und für das maximale ${\displaystyle {}i}$, also für ${\displaystyle {}\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}$, am größten. Da es ${\displaystyle {}\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}$ viele Faktoren gibt, kann man das Produkt unter Verwendung von Fakt  (1), Fakt  (6) und Fakt  (8) durch

{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\right)}^{\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}&\leq {\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\beta n}}\right)}^{\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}\\&\leq {\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\beta n}}\right)}^{\beta n}\\&={\left({\frac {\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}}+\beta }}\right)}^{\beta n}\\&={\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\end{aligned}}}

nach oben abschätzen. Also ist

${\displaystyle {}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\leq {\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\,.}$
3. Dies folgt aus (2), da die Binomialkoeffizienten in diesem Bereich wachsend sind und da es ${\displaystyle {}{\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}}$ Summanden gibt.
4. Nach (1) konvergiert ${\displaystyle {}{\frac {\binom {n}{n/2}}{2^{n}}}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$. Nach (3) genügt es daher, zu zeigen, dass
${\displaystyle {\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}{\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}}$

gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert. Dieser Ausdruck ist aber (beschränkt durch) von der Form

${\displaystyle n\cdot \gamma ^{n}}$

mit ${\displaystyle {}\gamma <1}$, also nach Fakt konvergent gegen ${\displaystyle {}0}$.