Binomialverteilung/Relative Häufigkeit/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\geq \sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\geq \sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\epsilon ^{2}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&=\epsilon ^{2}\sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&=\epsilon ^{2}\cdot P{\left({\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\right)}.\end{aligned}}

Aus Fakt folgt somit die Behauptung.