Biqadratische Erweiterung/Wurzel -5 2/Ganzes Element/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\left({\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {-10}}}{2}}\right)^{2}={\frac {2-10+2{\sqrt {-20}}}{4}}={\frac {-8+4{\sqrt {-5}}}{4}}=-2+{\sqrt {-5}}\,.$

Daher erfüllt ${}z$ die Ganzheitsgleichung

${}Z^{2}+2-{\sqrt {-5}}=0\,$

über ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$. Wegen der Transitivität der Ganzheit ist dann ${}z$ auch ganz über ${}\mathbb {Z}$. Aus der Rechnung folgt direkt, dass ${}{\sqrt {-5}}\in \mathbb {Z} [z]$ ist.

Es ist

${}{\begin{aligned}z^{3}&={\left(-2+{\sqrt {-5}}\right)}{\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {-10}}}{2}}\\&={\frac {-2{\sqrt {2}}-2{\sqrt {-10}}+{\sqrt {-5}}{\sqrt {2}}+{\sqrt {-5}}{\sqrt {-10}}}{2}}\\&={\frac {3{\sqrt {2}}-{\sqrt {-10}}}{2}}\end{aligned}}$

und

${}z^{4}={\left(-2+{\sqrt {-5}}\right)}^{2}=-1-4{\sqrt {-5}}\,.$

Somit ist ${}Z^{4}+4Z^{2}+9=0$ eine Ganzheitsgleichung für ${}z$ über ${}\mathbb {Z}$.

Es ist

${}z^{3}+z=2{\sqrt {2}}\,.$

Da in ${}\mathbb {Z} [z]$ nur ganzzahlige Kombinationen der Potenzen ${}z^{j}$ drin sind und diese linear unabhängig sind, gehört ${}{\sqrt {2}}$ nicht dazu.

Zur gelösten Aufgabe