Biquadratische Erweiterung/-15/Kähler-Differentiale/Unverzweigt/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,$

und

${}y={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,,$

die die Gleichungen  ${}x^{2}+x+1=0$  bzw.  ${}y^{2}-y-1=0$  erfüllen. Es sei  ${}T=\mathbb {Z} [x,y]\subseteq S$.  Wegen

${}z={\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}=2xy-x-y+1\,$

ist  ${}R\subseteq T$  und in ${}\Omega _{T{|}R}$ gilt

${}0=dz=d(2xy-x-y+1)=2xdy+2ydx-dx-dy=(2y-1)dx+(2x-1)dy\,.$

Wegen Aufgabe ist  ${}3dx=0$  und  ${}5dy=0$  in den entsprechenden quadratischen Erweiterungen von ${}\mathbb {Z}$ und damit erst recht in ${}\Omega _{T{|}R}$. Damit gilt auch  ${}(10y-5)dx=0$  und  ${}(6x-3)dy=0$.  Wir haben ferner  ${}(2x+1)dx=0$  und  ${}(2y-1)dy=0$.  Der Annullator von ${}dx$ enthält also ${}3,2x+1,10y-5$. Im Restklassenring zu diesem Annullator ist dann  ${}x=1$  und  ${}y=2$,  woraus mit  ${}y^{2}-y-1=0$  folgt, dass der Restklassenring der Nullring und der Annullator der ganze Ring ist. Also ist  ${}dx=0$.  Der Annullator zu ${}dy$ enthält ${}5,2x-1,2y-1$. Damit ist im Restklassenring zu diesem Annullator

${}x=y=3\,$

und aus

${}x^{2}+x+1=13=0\,$

folgt letztlich wieder  ${}dy=0$. 

Aus der Unverzweigtheit von ${}T$ über ${}R$ folgt, dass ${}T$ normal ist und daher schon der Zahlbereich ist.

Zur gelösten Aufgabe