Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Durchlauf/Fakt

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$ mit

${}\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})\neq 0\,$

mit dem Krümmungskreis ${}K$ mit Mittelpunkt ${}M$ und Radius ${}r$. Wenn ${}\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ die Standardorientierung repräsentiert, so sei ${}\alpha \in [0,2\pi [$ derart, dass

${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.$

Wenn ${}\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht die Standardorientierung repräsentiert, so sei ${}\alpha \in [0,2\pi [$ derart, dass

${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\-\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist (im standardorientierten Fall)

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M+r{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\\\sin \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\end{pmatrix}},$

bzw. (im nichtstandardorientierten Fall)

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M+r{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\\-\sin \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\end{pmatrix}},$

eine bogenparametrisierte Bewegung auf dem Krümmungskreis, die in ${}t_{0}$ mit ${}\gamma$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen